Геометрическая модель модель такое представление данных которое. Виды геометрических моделей Виды геометрических моделей

Среди всего разнообразия моделей, применяемых в науке и технике, самое широкое распространение получили математические модели. Под математическими моделями обычно понимаются различные математические конструкции, построенные на основе современной вычислительной техники, описывающие и воспроизводящие взаимосвязи между параметрами моделируемого объекта. Для установления связи между числом и формой существуют различные способы пространственно-числового кодирования. Простота и доступность решения практических задач зависит от удачно выбранной системы отсчета. Геометрические модели классифицируют на предметные (чертежи, карты, фотографии, макеты, телевизионные изображения и т.п.), расчетные и познавательные. Предметные модели тесно связаны с визуальным наблюдением. Информация, получаемая с предметных моделей, включает в себя сведения о форме и размерах объекта, о его расположении относительно других. Чертежи машин, технических приспособлений и их деталей выполняют с соблюдением ряда условных обозначений, особых правил и определенного масштаба. Чертежи могут быть монтажными, общего вида, сборочными, табличными, габаритными, наружных видов, пооперационными и т.д. В зависимости от стадии проектирования чертежи различают на чертежи технического предложения, эскизного и технического проектов, рабочие чертежи. Чертежи также различают по отраслям производства: машиностроительные, приборостроительные, строительные, горно-геологические, топографические и т.п. Чертежи земной поверхности называются картами. Чертежи различают по методу изображений: ортогональный чертеж, аксонометрия, перспектива, проекции с числовыми отметками, аффинные проекции, стереографические проекции, кинеперспектива и т.п. Геометрические модели существенно различаются по способу исполнения: чертежи подлинники, оригиналы, копии, рисунки, картины, фотографии, киноленты, рентгенограммы, кардиограммы, макеты, модели, скульптуры и т.д. Среди геометрических моделей можно выделить плоские и объемные модели. Графические построения могут служить для получения численных решений различных задач. При вычислении алгебраических выражений числа изображаются направленными отрезками. Для нахождения разности или суммы чисел соответствующие им отрезки откладываются на прямой линии. Умножение и деление осуществляется построением пропорциональных отрезков, которые отсекаются на сторонах угла прямыми параллельными линиями. Комбинация действий умножения и сложения позволяет вычислять суммы произведений и взвешенное среднее. Графическое возведение в целую степень заключается в последовательном повторении умножения. Графическим решением уравнений является значение абсциссы точки пересечения кривых. Графически можно вычислять определенный интеграл, строить график производной, т.е. дифференцировать и интегрировать, а также решать уравнения. Геометрические модели для графических вычислений необходимо отличать от номограмм и расчетных геометрических моделей (РГМ). Графические вычисления требуют каждый раз последовательности построений. Номограммы и РГМ представляют собой геометрические изображения функциональных зависимостей и не требуют для нахождения численных значений новых построений. Номограммы и РГМ используются для вычислений и исследований функциональных зависимостей. Вычисления на РГМ и номограммах заменяется считыванием ответов с помощью элементарных операций, указанных в ключе номограммы. Основными элементами номограмм являются шкалы и бинарные поля. Номограммы подразделяются на элементарные и составные номограммы. Номограммы также различают по операции в ключе. Принципиальное различие РГМ и номограммы состоит в том, что для построения РГМ используются геометрические методы, а для построения номограмм – аналитические методы.

Геометрические модели, изображающие отношения между элементами множества называются графами. Графы – модели порядка и образа действия. На этих моделях нет расстояний, углов, безразлично соединение точек прямой или кривой. В графах различаются только вершины, ребра и дуги. Впервые графы использовались в ходе решения головоломок. В настоящее время графы эффективно используются в теории планирования и управления, теории расписаний, социологии, биологии, в решении вероятностных и комбинаторных задач и т.п. Графическая модель зависимости называется графиком. Графики функций можно строить по заданной его части или по графику другой функции, используя геометрические преобразования. Графическое изображение, наглядно показывающее соотношение каких-либо величин, является диаграммой. Например, диаграмма состояния (фазовая диаграмма), графически изображает соотношение между параметрами состояния термодинамически равновесной системы. Столбчатая диаграмма, представляющая собой совокупность смежных прямоугольников, построенных на одной прямой и представляющих распределение каких-либо величин по количественному признаку, называется гистограммой.

Особенно интересным является использование геометрии для оценки теоретического и практического значения математических рассуждений и анализа сущности математического формализма.Отметим, общепринятые средства передачи приобретаемого опыта, знаний и восприятия (речь, письменность, живопись и т. д.) являются заведомо гомоморфной проекционной моделью реальной действительности. Понятия о проекционном схематизме и операции проектирования относятся к начертательной геометрии и имеют своё обобщение в теории геометрического моделирования.С геометрической точки зрения, любой объект может иметь множество проекций, различающихся как положением центра проектирования и картины, так и их размерностью, т.е. реальные явления природы и общественных отношений допускают различные описания, отличающиеся друг от друга степенью достоверности и совершенства. Основой научного исследования и источником всякой научной теории является наблюдение и эксперимент, который всегда имеет целью выявления некоторой закономерности. Приступая к изучению какого-либо конкретного явления, специалист, прежде всего, собирает факты, т.е. отмечает такие ситуации, которые поддаются экспериментальному наблюдению и регистрации с помощью органов чувств или специальных приборов. Экспериментальное наблюдение всегда носит проекционный характер, так как множеством фактов, неразличимых в данной ситуации (принадлежащих одному проектирующему образу) присваивается одно и то же название (проекция). Пространство, отнесенное к изучаемому явлению, называется операционным, а пространство, отнесенное к наблюдателю, – картинным. Размерность картинного пространства определяется возможностями и средствами наблюдения, т.е. вольно или невольно, сознательно и совершенно стихийно устанавливается экспериментатором, но всегда меньше размерности исходного пространства, которому принадлежат исследуемые объекты, обусловленные разнообразными связями, параметрами, причинами. Размерность исходного пространства очень часто остается не выявленной, т.к. существуют не выявленные параметры, которые влияют на исследуемый объект, но не известны исследователю или не могут быть учтены. Проекционный характер любого экспериментального наблюдения объясняется, прежде всего, невозможностью повторения событий во времени; это один из регулярно возникающих и неуправляемых параметров, независящих от воли экспериментатора. В некоторых случаях этот параметр оказывается несущественным, а в других случаях играет очень важную роль. Отсюда видно, какое большое и принципиальное значение имеют геометрические методы и аналогии при построении, оценке или проверке научных теорий. Действительно, каждая научная теория основывается на экспериментальных наблюдениях, а результаты этих наблюдений представляют собой – как сказано – проекцию изучаемого объекта. При этом реальный процесс может быть описан несколькими различными моделями. С точки зрения геометрии это соответствует выбору различного аппарата проектирования. Он различает объекты по одним признакам и не различает их по другим. Одной из наиболее важных и актуальных задач является выявление условий, при которых происходит сохранение или, наоборот, распадение детерминизма модели, полученной в результате эксперимента или исследования, так как практически всегда важно знать, насколько эффективна и пригодна данная гомоморфная модель. Решение поставленных задач геометрическими средствами оказалось уместным и естественным в связи с использованием указанных выше проекционных воззрений. Все эти обстоятельства послужили основанием для использования аналогий между различными видами проекционных геометрических моделей, полученных при гомоморфном моделировании, и моделями, возникающими в результате исследования. Совершенной модели соответствуют закономерности, устанавливающие однозначное или многозначное, но, во всяком случае, вполне определенное соответствие между некоторыми исходными и искомыми параметрами, описывающими изучаемое явление. В этом случае действует эффект схематизации, преднамеренное сокращение размерности картинного пространства, т.е. отказ от учета ряда существенных параметров, позволяющих экономить средства и избежать ошибок. Исследователь постоянно имеет дело с такими случаями, когда интуитивно незакономерные явления отличаются от закономерных явлений, где существует какая-то связь между параметрами, характеризующими исследуемый процесс, но пока не известен механизм действия этой закономерности, для чего в последствии ставится эксперимент. В геометрии этому факту соответствует различие между распавшейся моделью и совершенной моделью с неявно выраженным алгоритмом. Задачей исследователя в последнем случае является выявление алгоритма в проекции, элементов входа и элементов выхода. Закономерность, полученная в результате обработки и анализа некоторой выборки экспериментальных данных, может оказаться недостоверной из-за неверно сделанной выборки действующих факторов, подвергнутых исследованию, так как она оказывается лишь вырожденным вариантом более общей и более сложной закономерности. Отсюда возникает необходимость в повторных или натурных испытаниях. В геометрическом моделировании этому факту – получению неверного результата – соответствует распространение алгоритма для некоторого подпространства элементов входа, на все элементы входа (т.е. нестабильность алгоритма).

Простейшим реальным объектом, который удобно описывать и моделировать с помощью геометрических представлений, является совокупность всех наблюдаемых физических тел, вещей и предметов. Эта совокупность заполняет физическое пространство, которое можно рассматривать как исходный объект, подлежащий изучению, геометрическое пространство – как его математическую модель. Физические связи и отношения между реальными объектами заменяются позиционными и метрическими отношениями геометрических образов. Описание условий реальной задачи в геометрических терминах является очень ответственным и самым сложным этапом решения задачи, требующим сложной цепи умозаключений и высокого уровня абстракции, в результате которого реальное событие облекается в простую геометрическую конструкцию. Особое значение имеют теоретические геометрические модели. В аналитической геометрии геометрические образы исследуются средствами алгебры на основе метода координат. В проективной геометрии изучаются проективные преобразования и неизменные свойства фигур, независящие от них. В начертательной геометрии изучаются пространственные фигуры и методы решения пространственных задач при помощи построения их изображений на плоскости. Свойства плоских фигур рассматриваются в планиметрии, а свойства пространственных фигур – в стереометрии. В сферической тригонометрии изучаются зависимости между углами и сторонами сферических треугольников. Теория фотограмметрии и стерео фотограмметрии позволяет определять формы, размеры и положения объектов по их фотографическим изображениям в военном деле, космических исследованиях, геодезии и картографии. Современная топология изучает непрерывные свойства фигур и их взаимного расположения. Фрактальная геометрия (введена в науку в 1975 Б. Мандельбротом), изучающая общие закономерности процессов и структур в природе, благодаря современным компьютерным технологиям стала одним из самых плодотворных и прекрасных открытий в математике. Фракталы пользовались бы еще большей популярностью, если бы опирались на достижения современной теории начертательной геометрии.

При решении многих задач начертательной геометрии возникает необходимость в преобразованиях изображений, полученных на плоскостях проекций. Коллинеарные преобразования на плоскости: гомология и аффинное соответствие – имеют существенное значение в теории начертательной геометрии. Так как любая точка на плоскости проекций является элементом модели точки пространства, уместно предположить, что любое преобразование на плоскости порождается преобразованием в пространстве и, наоборот, преобразование в пространстве вызывает преобразование на плоскости. Все преобразования, выполняемые в пространстве и на модели, проводятся с целью упрощения решения задач. Как правило, такие упрощения связаны с геометрическими образами частного положения и, следовательно, суть преобразований, в большинстве случаев, сводится к преобразованию образов общего положения в частное.

Построенная по методу двух изображений плоская модель трехмерного пространства вполне однозначно или, как говорят, изоморфно сопоставляет элементы трехмерного пространства с их моделью. Это позволяет решить на плоскостях практически любую задачу, которая может возникнуть в пространстве. Но иногда по некоторым практическим соображениям, бывает целесообразно дополнить такую модель третьим изображением объекта моделирования. Теоретической основой для получения дополнительной проекции служит геометрический алгоритм, предложенный немецким ученым Гауком.

Задачи классической начертательной геометрии можно условно разделить на позиционные, метрические и конструктивные задачи. Задачи, связанные с выявлением взаимного положения геометрических образов относительно друг друга, называются позиционными. В пространстве прямые линии и плоскости могут пересекаться и могут не иметь пересечения. Открытые позиционные задачи в исходном пространстве, когда кроме задания пересекающихся образов не требуется никаких построений, становятся закрытыми на плоской модели, так как алгоритмы их решения распадаются из-за невозможности выделения геометрических образов. В пространстве прямая линия и плоскость всегда имеют пересечение в собственной или несобственной точке (прямая параллельна плоскости). На модели плоскость задается гомологией. На эпюре Монжа плоскость задается родственным соответствием и для решения задачи необходимо реализовать алгоритм построения соответственных элементов в заданном преобразовании. Решение задачи на пересечение двух плоскостей сводится к определению линии, которая одинаково преобразуется в двух заданных родственных соответствиях. Позиционные задачи на пересечение геометрических образов, занимающих проецирующее положение, значительно упрощаются в связи вырожденностью их проекций и поэтому играют особую роль. Как известно, одна проекция проецирующего образа обладает собирательным свойством, все точки прямой линии вырождаются в одну точку, а все точки и линии плоскости вырождаются в одну прямую линию, поэтому позиционная задача на пересечение сводится к определению недостающей проекции искомой точки или линии. Учитывая простоту решения позиционных задач на пересечение геометрических образов, когда хотя бы один из них занимает проецирующее положение, можно решать позиционные задачи общего вида с помощью методов преобразования чертежа для преобразования одного из образов в проецирующее положение. Имеет место факт: различные пространственные алгоритмы на плоскости моделируются одним и те же алгоритмом. Это можно объяснить тем, что в пространстве существует алгоритмов на порядок больше, чем на плоскости. Для решения позиционных задач используются различные методы: метод сфер, метод секущих плоскостей, преобразования чертежа. Операция проецирования может рассматриваться как способ образования и задания поверхностей.

Существует большой круг задач, связанных с измерением длин отрезков, величин углов, площадей фигур и т. д. Как правило, эти характеристики выражаются числом (две точки определяют число, характеризующее расстояние между ними; две прямые определяют число, характеризующее величину образованного ими угла и т. д.), для определения которого используются различные эталоны или шкалы. Примером таких эталонов являются обычная линейка и транспортир. Для того чтобы определить длину отрезка, надо сравнить его с эталоном, например, линейкой. А как приложить линейку к прямой линии общего положения на чертеже? Масштаб линейки в проекциях будет искажаться, причем для каждого положения прямой будет свой масштаб искажения. Для решения метрических задач на чертеже необходимо задать опорные элементы (несобственную плоскость, абсолютную полярность, масштабный отрезок), используя которые можно построить любую шкалу. Для решения метрических задач на эпюре Монжа используют преобразования чертежа так, чтобы искомые образы не искажались хотя бы в одной проекции. Таким образом, под метрическими задачами будем понимать преобразования отрезков, углов и плоских фигур в положения, когда они изображаются в натуральную величину. При этом можно использовать различные способы. Существует общая схема решения основных метрических задач на измерение расстояния и углов. Наибольший интерес представляют конструктивные задачи, решениекоторых опирается на теорию решения позиционных и метрических задач. Под конструктивными задачами понимаются задачи, связанные с построением геометрических образов, отвечающих определенным теорем начертательной геометрии.

В технических дисциплинах используются статические геометрические модели, которые помогают сформировать представления об определенных предметах, их кон­структивных особенностях, о входящих в их состав элементах, и динамические или функциональные геометрические модели, которые позволяют демонстрировать кинематику, функциональные связи или же технические и технологические процессы. Очень часто геометрические модели позволяют проследить ход таких явлений, которые обычному наблюдению не поддаются и могут быть представлены на основании имеющихся знаний. Изображения позволяют не только представить устройство оп­ределенных машин, приборов и оборудования, но одновременно охарактеризовать их технологические особенности и функциональ­ные параметры.

Чертежи дает не только геометрическую информацию о форме деталей узла. По нему понимается принцип работы узла, перемещение деталей относительно друг друга, преобразование движений, возникновение усилий, напряжений, преобразование энергии в механическую работу и т.п. В техническом вузе чертежи и схемы имеют место во всех изучаемых общетехнических и специальных дисциплинах (теоретическая механика, сопротивление материалов, конструкционные материалы, электромеханика, гидравлика, технология машиностроения, станки и инструменты, теория машин и механизмов, детали машин, машины и оборудование и др.). Для передачи различной информации чертежи дополняют различными знаками и символами, а для их словесного описания используются новые понятия, в основу формирования которых положены фундаментальные понятия физики, химии и математики. В процессе изучения теоретической механики и сопротивления материалов появляются качественно новые виды наглядности: схематичный вид конструкции, расчетная схема, эпюра. Эпюра – это разновидность графика, на котором показаны величина и знак различных внутренних силовых факторов, действующих в любой точке конструкции (продольных и поперечных сил, крутящих и изгибающих моментов, напряжений и т. д.). В курсе сопротивления материалов в процессе решения любой расчётной задачи требуется неоднократное перекодирование данных путём использования различных по своим функциям и уровням абстракции изображений. Схематичный вид, как первая абстракция от реальной конструкции, позволяет сформулировать задачу, выделить её условия и требования. Расчетная схема условно передаёт особенности конструкции, её геометрические характеристики и метрические соотношения, пространственное положение и направление действующих силовых факторов и реакций опор, точки характерных сечений. На её основе создаётся модель решения задачи, и она служит наглядной опорой в процессе реализации стратегии на разных этапах решения (при построении эпюры моментов, напряжений, углов закручивания и других факторов). В дальнейшем при изучении технических дисциплин идёт усложнение структуры используемых геометрических образов с широким использованием условно-графических изображений, знаковых моделей и их различных сочетаний. Таким образом, геометрические модели становятся интегрирующим звеном естественных и технических учебных дисциплин, а также методов профессиональной деятельности будущих специалистов. В основе становления профессиональной культуры инженера положена графическая культура, позволяющая разные виды деятельности объединить в рамках одной профессиональной общности. Уровень подготовки специалиста определяется тем, насколько развито и подвижно его пространст­венное мышление, так как, инвариантной функцией интеллектуальной деятельности инженера является оперирование образными графическими, схематическими и знаковыми моделями объектов.

Похожая информация.

Если два снимка установлены в такое же положение в котором они находились во время фотографирования, сократив расстояние между точками S1 и S2 до размера базиса проектирования b1 , то получим геометрическую модель местности А’С’D’ подобную участку местности АСD.

Геометрическая модель местности определяется как совокупность точек пересечения соответствующих проектируемых лучей.

Основные понятия:

Базис фотографирования В - расстояние между центрами проекции S1 и S2.

Связка проектируемых лучей - это совокупность проектируемых лучей принадлежащих центру проекции S.

Лучи - это лучи проходящие через центр проекции S и идентичной точки пары снимков.

Базисная плотность - это плотность содержащий базис фотографирования и один (любой) проектируемый луч.

Главная базисная плотность - плотность, содержащая базис фотографирования и один главный луч.

Базис проектирования b - это расстояние между центрами проекций S1 и S2 двух связок, по которой построена модель.

Внутреннее ориентирование снимка - это связки, восстановленные с помощью проектируемых камер.

Взаимное ориентирование снимков - это проектирование камеры с восстановленными связками, которые перемещаются друг относительно друга и устанавливают их так, чтобы лучи пересекались, тогда снимки займут такое же положение, как и во время съемки.

Взаимное ориентирование снимков м.б. достигнуто двумя способами:

Угловыми движениями обеих камер

Движение 1-й камеры (при неподвижной 2-й)

В связи с этим различают 2 системы взаимного ориентирования снимков:

в 1-й неподв. счит. базис фотограф., во 2-й левый снимок. 1-я сист. 2-я сист.В этой сист. базис фотограф. счит. горизонт. независим. от его положен. в пространств. £1 - продольн угол наклона левого снимка те угол в гл. базисной плоск. м/д перпенд. к базису фотограф и гл лучом левой связки. £2 - продольн. угол наклона прав. снимка ǽ1 - угол повор. лев. снимка ǽ2 - угол повор. прав. снимка w2 - взаимн. поперечн. угол наклона

Поперечн. параллакс - это разность ординат соот. т-к прав и лев снимк. q=y1-y2 Трансф. снимк. когда базис фотограф. и снимк. горизонт., оси х лев и прав снимк. лежат на одной прямой и ордин. точек будут равны q0=y01-y02=0

Если измерен. ордин. не равны на снимк., то они взаимн. не ориент.

Продольн. параллакс - это разность абсцисс точек и зависит от формата снимка продольн. перекр и рельефа. р=х1-х2

а1а1=х1; а2а2=-х2; S2A’//‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌S1A; а2а1’=а1а1=х‌1; а2а1’=х‌1-х2=р; АА’=В

1. ∆S2а2а1’~∆S2AA’; ; (1); (2)т.е. для гор. снимка парал. равен базису фотограф. в масш. съемки

2. ∆S1о1а1~S1O1A; ; ; ; ; Н=-Z; с учетом ф(1) Z=-B×f/p. В совр. приб. использ способ мнимой марки, в нем для измерения коорд. т-к исп. 2-е марки Т1 и Т2. Если одновр. расматр. две марки, то они сольют. в 1-у Т, если совмещ. Т1 и Т2 с соотв. т-ми а1 и а2 на сним., то марка восприним. совмещ. с пов-тью модели. Если марка Т2 не совмещ. с одноимен. т-ой а2, то видимая простр. марка Т’’ будет восприним. выше или ниже поверхн. модели.

28. Дешифрирование снимков для составления топографических и кадастровых планов и карт.

Дешифрирование – процесс распознавания по фотоизображению предметов и контуров местности, границ землевладений и землепользований, установление их качественной и количественной характеристик и вычерчивание их условными знаками.

В зависимости от содержания, дешифрирование делят на:

Топографическое;

Специальное.

При топографическом дешифрировании со снимков получают информацию о земной поверхности и расположении на ней объектах.

Основой методической классификации дешифрирования являются средства считывания и анализа видеоинформации. Исходя из этого, выделяют следующие основные методы:

1)Визуальный – информация считывается и анализируется человеком;

2)Машино-визуальный – информация предварительно преобразовывается машинами с целью облегчения последующего визуального анализа;

3)Автоматизированный – считывает со снимков и анализ выполнения машинами при активном участии оператора;

4)Автоматический – дешифрирование полностью выполняется машинами, человек определяет задачи и задает программу обработки.

Методика генерализации информации при дешифрировании базируется в основном на методике картографической генерализации, т.к. основной объем дешифрированных работ выполняется в целях создания топографических и специальных карт.

Нормы генерализации:

1) 4мм 2 для пахотных земель, залежей, улучшенных луговых земель, вкрапленных в них других земель;

2) 10мм 2 для немелиорируемых луговых земель;

3) 50мм 2 для одноименных различных по качественным признакам с/х земель;

4) 100мм 2 для контуров кустарника, бурелома, горелого или сухостойного леса;

5) озера, пруды дешифрируют независимо от их размеров;

6) линейные контура – если их длина превышает 1см, промоины если их длина превышает 0,5см.

Технологическая последовательность работ:

1)Составление технического проекта и сметы. На этом этапе определяются, какие карты масштабом 1:10000 подлежат обновлению. Границы аэрофотоснимка устанавливаются так, чтобы она покрывала полные планшеты. Аэрофотосъемку выполняют в масштабе 1:15000;

2)Подготовительные работы. Включает сбор, систематизацию, анализ и подготовку материалов съемки, юридических, картографических, справочных и др. материалов;

3)Камеральное дешифрирование. На снимки с имеющихся карт переносят все подтверждаемые фотоизображением объекты. Так же дешифрируют четко читаемые по фотоизображению объекты, появившиеся после создания карты. При камеральном дешифрировании не показывают: границы землепользований и землевладений, границы территориальных и административно-территориальных единиц, границы охранных зон, границы разделения земель по видам. Эти объекты будут установлены и отображены при выполнении полевого дешифрирования;

4)Полевое дешифрирование. Уточняются характеристики объектов;

5)Оформление и приемка материалов;

6)Составление технического отчёта.

Дешифрирование населенных пунктов начинается с выделения и вычерчивания магистральных улиц (1мм), прочих улиц, переулков, проездов, тупиков(0,5мм). Постройки разделяются по огнестойкости и размерам. Кварталы с преобладанием огнестойких построек закрашиваются розовым цветом, не огнестойкие – голубым цветом. Постройки размеры стен, которых в натуре не превышают 10м, в зависимости от формы показывают внемасштабным условным знаком, прямоугольником 0,7 × 1мм или квадратом 1 × 1мм.

Для решения задач комплексной автоматизации машиностроительных производств необходимо построить информационные модели изделий. Машиностроительное изделие как материальный предмет должен быть описан в двух аспектах:

Как геометрический объект;

Как реальное физическое тело.

Геометрическая модель необходима для задания идеальной формы, которой должно было бы соответствовать изделие, а модель физического тела должна дать характеристику материала, из которого изготовляется изделие, и допустимые отклонения реальных изделий от идеальной формы.

Геометрические модели создаются с помощью программных средств геометрического моделирования, а модели физического тела с помощью средств создания и ведения баз данных.

Геометрическая модель, как разновидность модели математической, охватывает определенный класс абстрактных геометрических объектов и отношений между ними. Математическое отношение - это правило, связывающее абстрактные объекты. Они описываются с помощью математических операций, связывающих один (унарная операция), два (бинарная операция) или более объектов, называемых операндами, с другим объектом или множеством объектов (результатом операции).

Геометрические модели создаются, как правило, в правой прямоугольной системе координат. Эти же системы координат используются в качестве локальных при задании и параметризации геометрических объектов.

В табл.2.1 приведена классификация базовых геометрических объектов. По размерности параметрических моделей, необходимых для представления геометрических объектов, они делятся на нульмерные, одномерные, двумерные и трехмерные. Нульмерные и одномерные классы геометрических объектов могут моделироваться как в двух координатах(2D) на плоскости, так и в трех координатах(3D) в пространстве. Двумерные и трехмерные объекты могут моделироваться только в пространстве.

Язык СПРУТ для геометрического моделирования машиностроительных изделий и оформления графической и текстовой документации

Существует значительное количество систем компьютерного геометрического моделирования, наиболее известными из которых являются Auto- CAD, ANVILL, EUCLID, EMS и др. Из числа отечественных систем этого класса наиболее мощной является система СПРУТ, предназначенная для автоматизации конструирования и подготовки управляющих программ для станков с ЧПУ.

Нульмерные геометрические объекты

На плоскости

Точка на плоскости

Точка на линии

Точка, заданная одной из координат и лежащая на прямой

В пространстве

Точка в пространстве

Точка, заданная координатами в базовой системе

P3D i = Xx,Yy,Zz

Точка на линии

Точка, заданная как n-я точка пространственной кривой

P3D i = PNT,CC j,Nn

Точка на поверхности

Точка, заданная как точка пересечения трех плоскостей;

P3D i = PLs i1,PLs i2,PLs i3

Таблица 2.1 Геометрические объекты в среде спрут

Размер-ность объекта	Размерность пространства	Вид объекта	Оператор СПРУТ
	На плоскости(2D)	Точки на плоскости	Pi = Xx, Yy; Pi = Mm, Aa
	[подсистема SGR]	Точки на линии	Pi = Xx, Li; Pi = Ci, Aa
В пространстве(3D)	Точки в пространстве	P3D i = Xx,Yy, Zz
[подсистема GM3]	Точки на линии	P3D i = PNT,CC j,Nn
Точки на поверхности	P3D i = PLS i1,PLS i2,PLS i3
	На плоскости(2D)
	[подсистема SGR]	Окружности
	Ki = Pj, -Lk, N2, R20, Cp, Pq
	Ki = Mm, Lt, Pj, Pk,..., Pn, Cq
Кривые 2-го порядка	CONIC i = P i1, P i2, P i3, ds
В пространстве(3D) [подсистема GM3]		P3D i = NORMAL,CYL j,P3D k; P3D i = NORMAL,Cn j,P3D k; P3D i = NORMAL,HSP j,P3D k; P3D i = NORMAL,TOR j,P3D k
	L3D i = P3D j,P3D k
	CC i = SPLINE,P3D i1,...,P3D j,Mm
Параметрическая кривая на поверхности	CC n = PARALL, BASES=CCi, DRIVES=CCk, PROFILE=CCp, STEPs
Линии пересечения поверхностей	SLICE K i, SS j, Nk, PL l; INTERS SS i, SS j, {L,} LISTCURV k
Проекция линии на поверхность	PROJEC Ki, CC j, PLS m
Проволочные модели	SHOW CYL i; SHOW HSP i; SHOW CN i; SHOW TOR i
Двух -мерные	В пространстве [подсистема GM3]	Плоскости	PL i = P3D j,L3D k
Цилиндры	CYL i = P3D j,P3D k,R
	CN i = P3D j,R1,P3D k,R2; CN i = P3D j,R1,P3D k,Angle
	HSP i = P3D j,P3D k,R
	TOR i = P3D j,R1,P3D k,R1,R2
Поверхности вращения	SS i = RADIAL, BASES = CC j, DRIVES = CC k, STEP s
Линейчатые поверхности	SS i = CONNEC, BASES = CC j, BASES = CC k, STEP s
Фасонные поверхности	SS i = PARALL, BASES = CC j, DRIVES = CC k, STEP s
Поверхности тензорного произведения
Трех-мерные	В пространстве [подсистема SGM]	Тело вращения	SOLID(dsn) = ROT, P3D(1), P3D(2), SET, P10, m(Tlr)
Тело сдвига	SOLID(dsn) = TRANS, P3D(1), P3D(2), SET, P10, M(Tlr)
Тело цилиндрическое	SOLID(dsn) = CYL(1), M(Tlr)
Тело коническое	SOLID(dsn) = CN(1), M(Tlr)
Тело сферическое	SOLID(dsn) = SPHERE(1), M(Tlr)
Тело торическое	SOLID(dsn) = TOR(1), M(Tlr)

Одномерные геометрические объекты

На плоскости

Векторы Вектор переноса MATRi = TRANS x, y

Линии Простые аналитические

Прямая (всего 10 способов задания)

Прямая, проходящая через две заданные точки Li = Pi, Pk

Окружность (всего 14 способов задания)

Окружность, заданная центром и радиусом Ci = Xx, Yy, Rr

Кривая второго порядка (всего 15 способов задания)

Кривая второго порядка, проходящая через три точки с заданным дискриминантом Conic i = P i1, P i2, P i3, ds

Составные Контуры - последовательность сегментов плоских геометрических элементов, начинающихся и заканчивающихся точками, лежащими на первом и последнем элементе соответственно K23 = P1, -L2, N2, R20, C7, P2 Кусочно-полиномиальные

Сплайн. Первым параметром в операторе является идентификатор "M", который указывает величину отклонения при аппроксимации отрезками сплайн-кривой. Далее следует начальное условие (прямая или окружность), затем перечисление точек в той последовательности, в которой они должны быть соединены. Заканчивается оператор определением условия на конце сплайн-кривой(прямая или окружность) Ki = Mm, Lt, Pj, Pk,..., Pn, Cq

Аппроксимация дугами Ki = Lt, Pj, Pk,..., Pn

В пространстве Векторы Вектор направления

Вектор единичной нормали в точке к полусфере P3D i = NORMAL,HSP j,P3D k Вектор единичной нормали в точке к цилиндру P3D i = NORMAL,CYL j,P3D k Вектор единичной нормали в точке к конусу P3D i = NORMAL, Cn j,P3D k Вектор единичной нормали в точке к тору P3D i = NORMAL,TOR j,P3D k Вектор переноса MATRi = TRANS x, y, z Линии

Независимые Прямая (всего 6 способов задания)

По двум точкам L3D i = P3D j,P3D k Сплайн-кривая CC i = SPLINE,P3D i1,.....,P3D j,mM На поверхности Параметрическая CC n=PARALL,BASES=CCi,DRIVES=CCk,PROFILE=CCp,STEPs Пересечение 2-х поверхностей Контур сечения поверхности плоскостью SLICE K i, SS j, Nk, PL l где N k - номер сечения Линия пересечения 2-х криволинейных поверхностей (результат список пространственных кривых) INTERS SS i,SS j,L,LISTCURV k ; где L - уровень точности; 3<= L <= 9;

Проекции на поверхность Проекция пространственной кривой на плоскость с системой координат PROJEC Ki,CC j,PLS m.

Составная

Проволочные модели Каркас Отображение цилиндра на экране в виде проволочной модели SHOW CYL i Отображение полусферы на экране в виде проволочной модели SHOW HSP i

Отображение конуса на экране в виде проволочной модели SHOW CN i

Отображение тора на экране в виде проволочной модели SHOW TOR

Двумерные геометрические объекты (поверхности)

Простые аналитические Плоскость (всего 9 способов задания)

По точке и прямой PL i = P3D j,L3D k

Цилиндр(по двум точкам и радиусу) CYL i = P3D j,P3D k,R

Конус Задается по двум точкам и двум радиусам; или по двум точкам, радиусу и углу в вершине CN i = P3D j,R1,P3D k,R2; CN i = P3D j,R1,P3D k,Angle

Сфера (полусфера) Задается по двум точкам и радиусу HSP i = P3D j,P3D k,R

Тор Задается по двум точкам и двум радиусам; вторая точка вместе с первой определяет ось тора TOR i = P3D j,R1,P3D k,R1,R2

Составные Кинематические Поверхности вращения SS i = RADIAL, BASES = CC j, DRIVES = CC k, STEP s

Линейчатые поверхности SS i = CONNEC, BASES = CC j, BASES = CC k, STEP s

Фасонные поверхности SS i = PARALL, BASES = CC j, DRIVES = CC k, STEP s

Кусочно-полиномиальные Поверхности тензорного произведения (сплайновые поверхности по системе точек) CSS j = SS i

Таблица 2.2 Геометрические операции в среде спрут

			ОПЕРАТОР СПРУТ
	Преобразо вания	Масштабирова-ние
		MATRi = TRANS x, y, z
	Вращение	MATRi = ROT, X Y Z, Aa
	Отображение	MATRi = SYMMETRY, Pli
Проекции	Параллельные	VECTOR P3Di, INTO P3Dj
		L = SURFAREA
параметров		S = SURFAREA
	S = SURFAREA
			S = AREA
			VS = VOLUME
		Момент инерции	SURFAREA
			SURFAREA
			INERC SOLID i,L3d i1,INLN
			INERC SOLID i, P3Dj
		Центр масс	CENTRE SOLID i,P3D j
			SURFAREA
БИНАР-НЫЕ	Расчеты параметров	Расстояние	S = DIST P3Di, P3Dj
		S = DIST P3Di, L3Dj
		S = DIST P3Di, Pl j
			S = DIST P3Di, SS j
S = DIST P3Di, P3Dj
			Ang = SURFAREA
	Пересечение	Двух линий	Pi = Li, Lj; Pi = Li, Cj;
		Pi = Ki, Lt, Nn; Pi = Ki, Ct, Nn;
		Pi = Ki, Kt, Nn; Pi = Ki, Lt, Nn
		P3D i = L3D j,PL k
	поверхностью	P3D i = L3D j,HSP k,n
			P3D i = L3D j,CYL k,n
			P3D i =L3D j,CN k,n; P3D i =CC i ,PL j
	L3D i = PL j, PL k
поверхностей	INTERS SS i,SS j,{L,}LISTCURV k
	CROS SOLID(Top+2), RGT, SOLID(Top+3), RGT;
Вычитание	Тела из тела	CROS SOLID(Top+2), RGT, SOLID(Top+3); SOLID(Top+1) = SOLID(Top+2), SOLID(Top+3)
Сложение		CROS SOLID(Top+2), SOLID(Top+3); SOLID(Top+1) = SOLID(Top+2), SOLID(Top+3)
Отсечение	Тела плоскостью	CROS SOLID(Top+1), PL(1), SET
	Объединение	Двух поверхностей	SSi=ADDUP,SSk,SSj,STEPs,a Angl
	Объединение	Объединение поверхностей	SS i = ADDUP,SS k,....., SS j,STEP s ,a Angl

Способы представления и передачи информации о геометрической форме изделия

Исходные данные о геометрической форме изделия, могут поступать в САМ-систему в формате Boundary Representation (B-Rep). Изучим этот формат более подробно.

Автором были рассмотрены структуры данных геометрического ядра ACIS фирмы Spatial Technology, геометрического ядра Parasolid фирмы Unigraphics Solutions, геометрического ядра Cascade фирмы Matra Datavision и представление модели в спецификации IGES. Во всех четырех источниках представление модели очень схоже, имеются лишь небольшие отличия в терминологии, в ядре ACIS имеются непринципиальные структуры данных связанные с оптимизацией вычислительных алгоритмов. Минимальный список объектов, необходимый для представления B-Rep модели представлен на Рис. 1. Его можно разделить на две группы. В левом столбце представлены геометрические объекты, а в правом топологические.

Рис. 1. Геометрические и топологические объекты.

Геометрическими объектами являются поверхность (Surface), кривая (Curve) и точка (Point). Они самостоятельны и не ссылаются на другие составляющие модели, именно они определяют пространственное расположение и размеры геометрической модели.

Топологические объекты описывают то, каким образом геометрические соединяются в пространстве. Сама по себе топология описывает структуру или сетку, которая никоим образом не зафиксирована в пространстве.

Кривые и поверхности. Как известно, существуют два наиболее общих метода представления кривых и поверхностей. Это неявные уравнения и параметрические функции.

Неявное уравнение кривой лежащей в плоскости xy имеет вид:

Это уравнение описывает неявное отношение между координатами x и y точек лежащих на кривой. Для данной кривой уравнение уникально. Например, окружность с единичным радиусом и центром в начале координат, описывается уравнением

В параметрической форме, каждая из координат точки кривой представляется отдельно как явная функция параметра:

Векторная функция от параметра u .

Хотя интервал произвольный, он обычно нормализуется до. Первый квадрант окружности описывается параметрическими функциями:

Установим, получим другое представление:

Таким образом, представление кривой в параметрическом виде не уникально.

Поверхность также может быть представлена неявным уравнением в форме:

Параметрическое представление (не уникальное) дается как:

Заметим, что для описания поверхности необходимы два параметра. Прямоугольную область существования всей совокупности точек (u,v), ограниченную условиями и будем называть областью или плоскостью параметров. Каждой точке в области параметров будет соответствовать точка на поверхности в модельном пространстве.

Рис. 2. Параметрическое задание поверхности.

Зафиксировав u и изменяя v , получаем поперечные линии, зафиксировав v и изменяя u , получаем продольные линии. Такие линии называют изопараметрическими.

Для представления кривых и поверхностей внутри B-Rep модели наиболее удобна параметрическая форма.

Топологические объекты. Тело (Body) - это ограниченный объем V в трехмерном пространстве. Тело будет корректным в том случае, если этот объем замкнутый и конечный. Тело может состоять из нескольких, не касающихся друг друга кусочков (Lumps), доступ к которым необходимо обеспечить как к единому целому. На рисунке изображен пример тела состоящего из более чем одного кусочка.

Рис. 3. Четыре кусочка в одном теле

Кусочек (Lump) - это единая область в трехмерном пространстве, ограниченная одной или более оболочками (Shells). Lump может иметь неограниченное количество пустот. Таким образом, одна оболочка кусочка является внешней, остальные внутренними.

Рис. 4. Тело, состоящее из двух кусочков

Оболочка (Shell) - это множество ограниченных поверхностей (Faces), объединенных между собой посредством общих вершин (Vertexes) и ребер (Edges). Нормали к поверхностям оболочки должны быть направлены от зоны существования тела. Ограниченная поверхность (Face) - это участок обычной геометрической поверхности, ограниченный одной или несколькими замкнутыми последовательностями кривых - петлями (Loops). При этом петля может задаваться кривыми, как в модельном, так и в параметрическом пространстве поверхности. Ограниченная поверхность в своей сути является двухмерным аналогом тела. Она также может иметь одну внешнюю и множество внутренних зон ограничений.

Рис. 5. Ограниченная поверхность

Петля (Loop) - является участком зоны ограничения Face. Она представляет собой множество параметрических ребер объединенных в двухсвязную цепочку. Для корректного тела она должна быть замкнутой.

Параметрическое ребро (Coedge) - это запись, соответствующая участку петли. Оно соответствует ребру геометрической модели. Параметрическое ребро имеет ссылку на двухмерную геометрическую кривую, соответствующую участку зоны ограничения в параметрическом пространстве. Параметрическое ребро ориентировано в петле таким образом, что если смотреть вдоль ребра по его направлению, то зона существования поверхности будет находиться слева от него. Таким образом, внешняя петля всегда направлена против часовой стрелки, а внутренние по часовой.

Параметрическое ребро (Coedge) может иметь ссылку на партнера, на такой же Coedge, лежащий в другой петле, но соответствующий тому же пространственному ребру. Поскольку в корректном теле, каждое ребро касается строго двух поверхностей, поэтому оно будет иметь строго два параметрических ребра.

Рис. 6. Ребра, параметрические ребра и вершины

Ребро (Edge) - топологический элемент, имеющий ссылку на трехмерную геометрическую кривую. Ребро ограничено с обеих сторон вершинами.

Вершина (Vertex) - топологический элемент, имеющий ссылку на геометрическую точку (Point). Вершина -это граница ребра. Все другие ребра, которые приходят в конкретную вершину, могут быть найдены через указатели параметрических ребер.

Рис. 7. Объектная реализация геометрической модели

В данной диаграмме фигурируют еще два неописанных объекта.

Система координат тела (Transform). Как известно система координат может задаваться матрицей преобразований. Размерность матрицы. Если координаты точки представить в виде вектора-строки, в последнем столбце которого лежит единица, то умножив этот вектор на матрицу преобразований получим координаты точки в новой системе координат.

Матрица может отражать в себе все пространственные преобразования, такие как: поворот, перенос, симметрия, масштабирование и их композиции. Как правило, матрица имеет следующий вид.

Габаритные размеры (Box) - структура данных, описывающая параметры прямоугольного параллелепипеда со сторонами параллельными координатным осям. Фактически это координаты двух точек, расположенных на концах главной диагонали параллелепипеда.

Кривые и поверхности NURBS

В настоящее время наиболее распространенным способом представления кривых и поверхностей в параметрической форме являются рациональные сплайны или NURBS (non-uniform rational b-spline). В виде NURBS с абсолютной точностью могут быть представлены такие канонические формы как отрезок, дуга окружности, эллипс, плоскость, сфера, цилиндр, тор и другие, что позволяет говорить об универсальности данного формата, и исключает необходимость использования иных способов представления.

Кривая в таком виде описывается следующей формулой:

W(i) - весовые коэффициенты (положительные действительные числа),

P(i) - контрольные точки,

Bi - B-сплайновые функции

В-сплайновые функции степени М полностью определяются множеством узлов. Пусть N=K-M+1, то множество узлов представляет собой последовательность не уменьшающихся действительных чисел:

T(-M),…,T(0),…,T(N),…T(N+M).

Рис. 8. (a) кубические базисные функции; (b) кубическая кривая, использующая базисные функции с (a)

Сегмент кривой, представленной в виде NURBS, может быть преобразован в полиномиальную форму без потери точности, то есть представлен выражениями:

где и являются полиномами степени кривой. Способы преобразования кривых из NURBS в полиномиальную форму и обратно подробно описаны в /1/.

Поверхности NURBS представляются аналогичным образом:

Рис. 9. В-сплайновая поверхность: (a) сетка контрольных точек; (b) поверхность

Как видно из рисунков, сложность геометрической формы кривой или поверхности можно оценить по контрольным точкам.

Сегмент поверхности NURBS также может быть представлен в полиномиальной форме:

где и являются полиномами двух переменных и могут быть представлены в виде:

Более подробно свойства NURBS кривых и поверхностей описаны в /1,2/.

Для любой двумерной параметрической кривой, где, и - полиномы существует уравнение, где также полином, которое точно определяет ту же самую кривую. Для любой параметрической поверхности заданной выражением (6) существует уравнение, где также полином, которое точно определяет ту же самую поверхность. Способы получения неявной формы параметрически заданной кривой или поверхности описаны в /33/.

Стандарты передачи геометрической модели

Для сквозной автоматизации процесса подготовки производства, необходимо использование CAD-систем в конструкторских отделах и CAM-систем в технологических. В случае если проектирование ведется на одном предприятии, а изготовление на другом, возможны варианты использования различного программного обеспечения. При этом основной проблемой является несовместимость форматов геометрической модели систем разных фирм. Наиболее часто для решения этой проблемы проектировщик формирует весь набор технической документации в бумажном виде, а изготовитель по полученным чертежам восстанавливает электронную модель изделия. Такой подход очень трудоемкий и сводит на нет все достоинства автоматизации отдельных этапов. Решение подобных задач производится либо посредством программы-конвертора, либо посредством приведения данных к единому стандарту.

Одним из таких стандартов является IGES (Initial Graphics Exchange Specification). Этот стандарт обеспечивает передачу любой геометрической информации, включая аналитические и NURBS поверхности и твердотельные модели в представлении B-Rep. В настоящее время стандарт IGES является общепризнанным и обеспечивает передачу любой геометрической информации. Его поддерживают все наиболее развитые системы автоматизированного проектирования и производства. Тем не менее для решения некоторых производственных задач передачи только геометрической информации недостаточно. Необходимо хранение всей информации об изделии в течение всего его жизненного цикла. Передача подобной информации может быть осуществлена с помощью совсем нового стандарта ISO 10303 STEP, являющегося непосредственным развитием IGES. Однако в России спрос на системы, совместимые со STEP, практически отсутствует. Геометрическая модель может быть передана также и формате STL (формат для стереолитографии). В таком представлении модель представляется как совокупность плоских треугольных граней. Однако представление модели в таком виде, несмотря на очевидную простоту, имеет серьезный недостаток связанный с большим увеличением объема памяти требуемой для хранения модели при небольшом увеличении точности.

Помимо указанных существуют корпоративные форматы хранения и передачи информации о геометрической форме изделия. К ним относятся, например, формат XT ядра Parasolid фирмы Unigraphics Solitions или формат SAT ядра ACIS фирмы Spatial Technology. Ключевым недостатком этих форматов является их ориентированность на продвигающую их фирму, и соответственно, зависимость от нее.

Таким образом, в настоящее время наиболее приемлемым форматом для передачи геометрической информации о форме изделия из одной системы в другую является IGES.

Подсистемы графического и геометрического моделирования (ГГМ) занимают центральное место в САПП. Конструирование изделий в них, как правило, проводится в интерактивном режиме при оперировании геометрическими моделями, т.е. математическими объектами, отображающими форму изделия, состав сборочных узлов и возможно некоторые дополнительные параметры (масса, цвета поверхности и т.п.).

В подсистемах ГГМ типичный маршрут обработки данных включает в себя получение проектного решения в прикладной программе, его представление в виде геометрической модели (геометрическое моделирование), подготовку проектного решения к визуализации, собственно визуализацию при помощи ПК при необходимости корректировку решения в интерактивном режиме.

Две последние операции реализуются на базе вычислительных средств ГГМ. Когда говорят о математическом обеспечении ГГМ, имеют в виду, прежде всего модели, методы и алгоритмы для геометрического моделирования и подготовки к визуализации.

Различают математическое обеспечение двумерного (2D) и трехмерного (3D) ГГМ.

Основные применения 2D ГГМ подготовка чертежной документации в САПП, топологическое проектирование печатных плат и кристаллов БИС в САПП электронной промышленности.

В процессе 3D моделирования создаются геометрические модели, т.е. модели, отражающие геометрические свойства изделий. Различают геометрические модели каркасные (проволочные), поверхностные, объемные (твердотельные).

Каркасная модель представляет форму изделия в виде конечного множества линий, лежащих на поверхностях изделия. Для каждой линии известны координаты концевых точек и указана их инцидентность ребрам или поверхностям. Оперировать каркасной моделью на дальнейших операциях САПП неудобно, и поэтому каркасные модели в настоящее время используют редко.

Поверхностная модель отображает форму изделия с помощью задания ограничивающих ее поверхностей, например, в виде совокупности данных о гранях, ребрах и вершинах.

Особое место занимают модели изделий с поверхностями сложной формы, так называемыми скульптурными поверхностями . К таким изделиям относятся, например, корпуса микросхем, компьютеров, рабочих станций) и др.

Объемные модели отличаются тем, что в них в явной форме содержатся сведения о принадлежности элементов внутреннему или внешнему по отношению к изделию пространству.

Рассмотренные модели отображают тела с замкнутыми объемами, являющиеся так называемыми многообразиями (manifold). Некоторые системы геометрического моделирования допускают оперирование немногообразными моделями (nonmanifold ), примерами которых могут быть модели тел, касающихся друг друга в одной точке или вдоль прямой. Немногообразные модели удобны в процессе конструирования, когда на промежуточных этапах полезно работать одновременно с трехмерными и двумерными моделями, не задавая толщины стенок конструкции, и т.п.

Систематизация геометрических моделей

Сгеометрическими моделями приходится иметь дело матема­тику и физику, инженеру и конструктору, ученому и рабочему, врачу и художнику, космонавту и фотографу. Однако до сих пор не существует какого-либо систематического руководства по геометрические моделям и их применению. Объясняется это прежде всего тем, что слишком широк и разнообразен круг геометри­ческих моделей.

Геометрические модели могут являться воплощением замысла проектировщика и служат для создания нового объекта. Име­ет место и обратная схема, когда по объекту делается модель, например, при реставрации или ремонте.

Геометрические модели классифицируют на предметные (чер­тежи, карты, фотографии, макеты, телевизионные изображения и т.п.), расчетные и познавательные. Предметные модели тесно связаны с визуальным наблюдением. Информация, получаемая с предметных моделей, включает в себя сведения о форме и разме­рах объекта, о его расположении относительно других.

Чертежи машин, сооружений, технических приспособлений и их деталей выполняют с соблюдением ряда условных обозначе­ний, особых правил и определенного масштаба. Различают черте­жи деталей, монтажные, общего вида, сборочные, табличные, га­баритные, наружных видов, пооперационные и т.д. В зависимости от стадии проектирования чертежи различают на чертежи тех­нического предложения, эскизного и технического проектов, ра­бочие чертежи. Чертежи также различают по отраслям производс­тва: машиностроительные, приборостроительные, строительные, горно-геологические, топографические и т.п. Чертежи земной поверхности называются картами. Чертежи различают по методу изображений: ортогональный чертеж, аксонометрия, перспектива, числовые отметки, аффинные проекции, стереографические проек­ции, киноперспектива и т.д.

Геометрические модели существенно различаются по способу исполнения: чертежи подлинники, оригиналы, копии, рисунки, картины, фотографии, киноленты, рентгенограммы, кардиограммы, макеты, модели, скульптуры и т.д. Среди геометрических моделей можно выделить плоские и объемные.

Графические построения могут служить для получения чи­сленных решений различных задач. При вычислении алгебраи­ческих выражений числа изображаются направленными отрезка­ми. Для нахождения разности или суммы чисел соответствую­щие им отрезка откладываются на прямой. Умножение и деле­ние осуществляется построением пропорциональных отрезков, которые отсекаются на сторонах угла параллельными прямыми. Комбинация действий умножения и сложения позволяет вычис­лять суммы произведений и взвешенное среднее. Графическое возведение в целую степень заключается в последовательном повторении умножения. Графическим решением уравнений явля­ется значение абсциссы точки пересечения кривых. Графичес­ки можно вычислять определенный интеграл, строить график производной, т.е. дифференцировать, и интегрировать диффе­ренциальные уравнения. Геометрические модели для графичес­ких вычислений необходимо отличать от номограмм и расчет­ных геометрических моделей (РГМ). Графические вычисления требуют каждый раз последовательности построений. Номограм­мы и РГМ представляют собой геометрические изображения фун­кциональных зависимостей и не требуют для нахождения чис­ленных значений новых построений. Номограммы и РГМ исполь­зуются для вычислений и исследований функциональных зави­симостей. Вычисления на РГМ и номограммах заменяется счи­тыванием ответов с помощью элементарных операций, указан­ных в ключе номограммы. Основными элементами номограмм яв­ляются шкалы и бинарные поля. Номограммы подразделяют на элементарные и составные. Номограммы также различают по операции в ключе. Принципиальное различие РГМ и номограм­мы состоит в том, что для построения РГМ используются гео­метрические методы, а для построения номограмм – аналити­ческие методы.

Геометрические модели, изображающие отношения между элементами множества называются графами . Графы – модели порядка и образа действия. На этих моделях нет расстояний, углов, безразлично соединение точек прямой или кривой линией. В графах различаются только вершины, ребра и дуги. Впервые графы использовались в ходе решения головоломок. В настоящее время графы эффективно используются в теории планиро­вания и управления, теории расписаний, социологии, биоло­гии, электронике, в решений вероятностных и комбинаторных задач и т.п.

Графическая модель функциональной зависимости называет­ся графиком. Графики функций можно строить по заданной его части или по графику другой функции, используя геометрические преобразования.

Графическое изображение, наглядно показывающее соотно­шение каких-либо величин, является диаграммой. Например, ди­аграмма состояния (фазовая диаграмма), графически изобража­ет соотношение между параметрами состояния термодинамической равновесной системы. Столбчатая диаграмма, представляющая собой совокупность смежных прямоугольников, построенных на одной прямой и представляющих распределение каких-либо вели­чин по количественному признаку, называется гистограммой.

Особо важное значение имеют теоретические геометричес­кие модели. В аналитической геометрии геометрические образы исследуются средствами алгебры на основе метода координат. В проективной геометрии изучаются проективные преобразова­ния и неизменные свойства фигур, независящие от них. В на­чертательной геометрии изучаются пространственные фигуры и методы решения пространственных задач при помощи построения их изображений на плоскости. Свойства плоских фигур рассмат­риваются в планиметрии, свойства пространственных фигур – в стереометрии. В сферической тригонометрии изучаются за­висимости между углами и сторонами сферических треугольни­ков. Теория фотограмметрии и стереофотограмметрии позволя­ет определять формы, размеры и положения объектов по их фо­тографическим изобра

Геометрическое моделирование

Векторная и растровая графика.

Графика бывает двух видов - векторная и растровая. Основное отличие - в принципе хранения изображения. Векторная графика описывает изображение с помощью математических формул. Основное преимущество векторной графики состоит в том, что при изменении масштаба изображения оно не теряет своего качества. Отсюда следует и еще одно преимущество - при изменении размеров изображения не изменяется размер файла.Растровая графика - это прямоугольная матрица, состоящая из множества очень мелких неделимых точек (пикселей).

Растровое изображение можно сравнить с детской мозаикой, когда картинка составляется из цветных квадратиков. Компьютер запоминает цвета всех квадратиков подряд в определенном порядке. Поэтому растровые изображения требуют для хранения большего объема памяти. Их сложно масштабировать и еще сложнее редактировать. Чтобы увеличить изображение, приходится увеличивать размер квадратиков, и тогда рисунок получается "ступенчатым". Для уменьшения растрового рисунка приходится несколько соседних точек преобразовывать в одну или выбрасывать лишние точки. В результате изображение искажается, его мелкие детали становятся неразборчивыми. Этих недостатков лишена векторная графика. В векторных редакторах рисунок запоминается как совокупность геометрических фигур - контуров, представленных в виде математических формул. Чтобы пропорционально увеличить объект, достаточно просто изменить одно число: коэффициент масштабирования. Никаких искажений ни при увеличении, ни при уменьшении рисунка не возникает. Поэтому, создавая рисунок, вы можете не думать о его конечных размерах - вы всегда можете изменить их.

Геометрические преобразования

Ве́кторная гра́фика - это использование геометрических примитивов, таких как точки, линии, сплайны и многоугольники, для представления изображений в компьютерной графике. Рассмотрим, к примеру, окружность радиуса r. Список информации, необходимой для полного описания окружности, таков:

радиус r ;

координаты центра окружности;

цвет и толщина контура (возможно прозрачный);

цвет заполнения (возможно прозрачный).

Преимущества этого способа описания графики над растровой графикой:

Минимальное количество информации передаётся намного меньшему размеру файла (размер не зависит от величины объекта).

Соответственно, можно бесконечно увеличить, например, дугу окружности, и она останется гладкой. С другой стороны, если кривая представлена в виде ломаной линии, увеличение покажет, что она на самом деле не кривая.

При увеличении или уменьшении объектов толщина линий может быть постоянной.

Параметры объектов хранятся и могут быть изменены. Это означает, что перемещение, масштабирование, вращение, заполнение и т. д. не ухудшат качества рисунка. Более того, обычно указывают размеры в аппаратно-независимых единицах ((англ.)), которые ведут к наилучшей возможной растеризации на растровых устройствах.

У векторной графики есть два фундаментальных недостатка.

Не каждый объект может быть легко изображен в векторном виде. Кроме того, количество памяти и времени на отображение зависит от числа объектов и их сложности.

Перевод векторной графики в растр достаточно прост. Но обратного пути, как правило, нет - трассировка растра обычно не обеспечивает высокого качества векторного рисунка.

Векторные графические редакторы, типично, позволяют вращать, перемещать, отражать, растягивать, скашивать, выполнять основные аффинные преобразования над объектами, изменять z-order и комбинировать примитивы в более сложные объекты.

Более изощрённые преобразования включают булевы операции на замкнутых фигурах: объединение, дополнение, пересечение и т. д.

Векторная графика идеальна для простых или составных рисунков, которые должны быть аппаратно-независимыми или не нуждаются в фотореализме. К примеру, PostScript и PDF используют модель векторной графи

Линии и ломаные линии.

Многоугольники.

Окружности и эллипсы.

Кривые Безье.

Безигоны.

Текст (в компьютерных шрифтах, таких как TrueType, каждая буква создаётся из кривых Безье).

Этот список неполон. Есть разные типы кривых (Catmull-Rom сплайны, NURBS и т.д.), которые используются в различных приложениях.

Также возможно рассматривать растровое изображение как примитивный объект, ведущий себя как прямоугольник.

Основные виды геометрических моделей

Геометрические модели дают внешнее представление об объекте-оригинале и характеризуются одинаковыми с ним пропорциями геометрических размеров. Эти модели подразделяются на двумерные и трехмерные. Эскизы, схемы, чертежи, графики, живописные работы представляют собой примеры двумерных геометрических моделей, а макеты зданий, автомобилей, самолетов и т.д. – это трехмерные геометрические модели.

Трёхмерная графика оперирует с объектами в трёхмерном пространстве. Обычно результаты представляют собой плоскую картинку, проекцию. Трёхмерная компьютерная графика широко используется в кино, компьютерных играх.

В трёхмерной компьютерной графике все объекты обычно представляются как набор поверхностей или частиц. Минимальную поверхность называют полигоном. В качестве полигона обычно выбирают треугольники.

Всеми визуальными преобразованиями в 3D-графике управляют матрицы (см. также: аффинное преобразование в линейной алгебре). В компьютерной графике используется три вида матриц:

матрица поворота

матрица сдвига

матрица масштабирования

Любой полигон можно представить в виде набора из координат его вершин. Так, у треугольника будет 3 вершины. Координаты каждой вершины представляют собой вектор (x, y, z). Умножив вектор на соответствующую матрицу, мы получим новый вектор. Сделав такое преобразование со всеми вершинами полигона, получим новый полигон, а преобразовав все полигоны, получим новый объект, повёрнутый/сдвинутый/промасштабированный относительно исходного