Период в электротехнике. Что такое синусоидальный ток

Тема 3. Цепи синусоидального тока

Общие сведения и определения
Комплексная амплитуда
Действующие значения синусоидальной функции
Изображение синусоидальных функций векторами. Векторная диаграмма
Изображение синусоидальной функции комплексными числами
Закон Ома в комплексной форме
Уравнения элементов в комплексной форме

§ 3.1. Общие сведения и определения:

Переменный ток имеет большее распространение, чем постоянный.

Объясняют это:

конструкция электродвигателей и генераторов переменного тока гораздо проще;
генераторы переменного тока могут быть выполнены для более высокого напряжения;
переменный ток легко преобразовывается с помощью трансформатора, что необходимо при распределении электроэнергии и т.д.

Переменный ток – ток, периодически меняющий свое значение и направление. Наибольшее значение переменного тока – его амплитуда.

Переменный ток характеризуется:

амплитудой;
периодом;
частотой;
фазой.

Амплитуда – наибольшие (положительные или отрицательные) величины.

Период – время, в течение которого происходит полное колебание тока в проводнике.

Частота – обратно периоду.

Фаза – характеризует состояние переменного тока в любой момент времени.

Основным видом переменного тока является синусоидальный (гармонический) ток. Закон изменения такого тока описывается синусоидальной функцией.

В линейных электрических цепях, в которых действуют синусоидальные источники, все электрические параметры изменяются по синусоидальному закону.

Напряжение: .

– мгновенные значения;

ε m ,U m ,I m – амплитуды;

(ωt + ψ ) – фаза, [рад];

ω = 2π – угловая частота, [рад/с];

ƒ = 1 Т – циклическая частота, [Гц];

Т – период, [с];

ψ e , ψ u , ψ i – начальная фаза, [рад].

Любую синусоидальную функцию можно изобразить в виде графика, который называется графиком временных значений или временной диаграммой.

Любая синусоидальная функция задается тремя величинами: амплитудой, частотой и начальной фазой.

В разных электрических цепях частота может быть разной.

Автономные линейные электрические цепи – частота изменения тока, напряжения и ЭДС одинаковы.

Электрические цепи, в которых действуют синусоидальные ЭДС, напряжения и токи называются цепями синусоидального тока.

§ 3.2. Комплексная амплитуда:

Расчет цепей синусоидального тока с использованием мгновенных значений требует громоздкой вычислительной работы и применим для простейших электрических цепей.

Для расчета цепей синусоидального тока синусоидальную функцию заменяют эквивалентной величиной.

где j = √ — 1 – мнимая единица.

– комплексная амплитуда.

– сопряженная комплексная амплитуда.

– поворотный множитель.

Последняя запись означает, что синусоидальное напряжение можно представить на комплексной плоскости в виде двух векторов, длина которых равна U m и которые равномерно вращаются со скоростями, равными ω в противоположные стороны.

§ 3.3. Действующие значения синусоидальной функции:

Действующее значение синусоидальной функции – ее количественная оценка.

Действующие значения – среднеквадратичные за период значения синусоидальной функции, то есть, если:

то действующее значение:

Аналогично и для тока I и ЭДС ε .

Часто используются выражения, связывающие между собой амплитуду и действующее значение:

Действующее значени е – это постоянная величина, которую обычно обозначают той же буквой, что и амплитуду, только без индекса m .

Действующее значение тока оказывает такое же тепловое действие на проводник с сопротивлением R , что и переменный ток, в течение времени, равном периоду. Поэтому большинство электроизмерительных приборов фиксируют и реагируют на действующие значения.

§ 3.4. Изображение синусоидальных функций векторами. Векторная диаграмма:

Электрическое состояние переменного тока описывается уравнениями Кирхгофа. Радиус-вектор, длина которого равна A m , вращается в декартовой плоскости координат xy против часовой стрелки с частотой ω и поворачивается за время одного оборота на угол 2 π , то есть 2 T = 2 π . Положение радиус-вектора относительно оси x в момент начала (t = 0 ) определяется углом ψa . За отрезок времени t 1 радиус-вектор повернется на угол ωt 1 и его положение относительно оси x определяет угол ψ 1 = ψ a + ωt 1 . За время t 2 радиус-вектор переместится на угол ψ 2 = ψ a + ωt 2 и займет положение, определяемое углом и т.д. В соответствии с определением синуса проекция вращающегося радиус-вектора на ось y определяется:

где a – проекция вектора на ось y в момент времени t .

рис. а рис. б

Любому равномерно вращающемуся радиус-вектору соответствует некоторая синусоидальная функция, и наоборот.

Посмотрим, как условный графический образ синусоидальной функции – радиус-вектор – может быть применим при расчетах цепей переменного тока. Определим ток:

i = i 1 + i 2 ,

Как известно, сумма двух синусоид одинаковой частоты ω представляет собой также синусоиду частотой ω , то есть i = I m sin (ωt + ψ ) и, следовательно, задача сводится к нахождению амплитуды I m и начальной фазы Ψ суммарного тока i . Искомые параметры I m и Ψ можно найти, воспользовавшись известными тригонометрическими преобразованиями.

Проведем решение задачи с помощью радиус-векторов I 1m и I 2m , вращающихся с частотой ω , положение которых для момента времени t = 0 показаны на рисунке ниже и осуществим геометрическое суммирование этих радиус-векторов по правилу параллелограмма. Результирующий радиус-вектор I m будет вращаться с частотой ω и является изображением некоторой синусоидальной функцией времени.

Следовательно, i = i 1 + i 2 – геометрическое изображение искомого тока.

Измерив дугу суммарного радиус-вектора и, зная выбранный масштаб, можно определить амплитуду I m тока. Непосредственно по чертежу определяется и начальная фаза Ψ .

Рассмотренная совокупность радиус-векторов, изображающих синусоидальные функции времени, называется векторной диаграммой .

§ 3.5. Изображение синусоидальной функции комплексными числами:

Для введения комплексного изображения перенесем радиус-вектор, изображающий синусоидальную функцию времени в декартовой плоскости на плоскость комплексных чисел. Для чего совместим ось x с осью действительных чисел Re , а ось y – с Im .

Колебания маятника также подчиняются закону синуса. Если записать проекцию траектории движения математического маятника на движущуюся бумажную ленту - получится синусоида.

Синусоидальным током называется периодический переменный ток, который с течением времени изменяется по закону синуса .

Синусоидальный ток - элементарный, то есть его невозможно разложить на другие более простые переменные токи.

Переменный синусоидальный ток выражается формулой:

Амплитуда синусоидального тока;

Некоторый угол, называемый фазой синусоидального тока .

Фаза синусоидального тока изменяется пропорционально времени .

Множитель , входящий в выражение фазы - величина постоянная, называемая угловой частотой переменного тока .

Угловая частота синусоидального тока зависит от частоты этого тока и определяется формулой:

, где

Угловая частота синусоидального тока;

Частота синусоидального тока;

Период синусоидального тока;

Центральный угол окружности, выраженный в радианах.

Зависимость синусоидального тока от времени

Зависимость синусоидального тока от угла ωt

Периоду соответствует угол , половине периода угол и так далее…

Исходя из формулы , можно определить размерность угловой частоты:

, где

Время в секундах,

Угол в радианах, является безразмерной величиной.

Фаза синусоидального тока измеряется радианами .

1 радиан = 57°17′, угол 90° = радиан, угол 180° = радиан, угол 270° = радиан, угол 360° = радиан, где радиан; - число «Пи» , ° - угловой градус и ′ - угловая минута .

Формула описывает случай, когда наблюдение за изменением переменного синусоидального тока начинается с момента времени при . Если не равен нулю, тогда формула для определения мгновенного значения переменного синусоидального тока примет следующий вид:

Фаза переменного синусоидального тока;

Угол, называемый начальной фазой переменного синусоидального тока .

Начальная фаза переменного тока

Если в формуле принять , то будем иметь

Начальная фаза - это фаза синусоидального тока в момент времени .

Начальная фаза переменного синусоидального тока может быть положительной или отрицательной величиной. При мгновенное значение синусоидального тока в момент времени положительно, при - отрицательно.

, то есть равно положительной амплитуде тока.

Если начальная фаза , то ток определяется по формуле . Мгновенное значение его в момент времени равно

, то есть равно отрицательной амплитуде тока.

9. Идеальные элементы электрической цепи синусоидального тока

11. Неразветвленная цепь синусоидального тока. Резонанс напряжений

Резонанс напряжений - резонанс, происходящий в последовательном колебательном контуре при его подключении к источнику напряжения, частота которого совпадает с собственной частотой контура.

Описание явления

Пусть имеется колебательный контур с частотой собственных колебаний f , и пусть внутри него работает генератор переменного тока такой же частоты f .

В начальный момент конденсатор контура разряжен, генератор не работает. После включения напряжение на генераторе начинает возрастать, заряжая конденсатор. Катушка в первое мгновение не пропускает ток из-за ЭДС самоиндукции. Напряжение на генераторе достигает максимума, заряжая до такого же напряжения конденсатор.

Далее: так как магнитное поле не может существовать стационарно, оно начинает уменьшаться, пересекая витки катушки в обратном направлении. На выводах катушки появляется ЭДС индукции, которое начинает перезаряжать конденсатор. В цепи колебательного контура течет ток, только уже противоположно току заряда, так как витки пересекаются полем в обратном направлении. Обкладки конденсатора перезаряжаются зарядами, противоположными первоначальным. Одновременно растет напряжение на генераторе противоположного знака, причем с той же скоростью, с какой катушка заряжает конденсатор.

Возникла следующая ситуация. Конденсатор и генератор соединены последовательно и на обоих напряжение, равное напряжению генератора. При последовательном соединении источников питания их напряжения складываются.

Следовательно, в следующем полупериоде на катушку пойдет удвоенное напряжение (и от генератора, и от конденсатора), и колебания в контуре будут происходить при удвоенном напряжении на катушке.

В контурах с низкой добротностью напряжение на катушке будет ниже удвоенного, так как часть энергии будет рассеиваться (на излучение, на нагрев) и энергия конденсатора не перейдет полностью в энергию катушки). Соединены как бы последовательно генератор и часть конденсатора.

Синусоидальный ток и основные характеризующие его величины.

Синусоидальный ток представляет собой ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону (рис. 3.1):

Максимальное значение функции называют амплитудой. Амплитуду тока обозначают . Период Т - это время, за которое совершается одно полное колебание.

Частота равна числу колебаний в 1 с (единица частоты - герц (Гц) или

Угловая частота (единица угловой частоты - рад/с или )

Аргумент синуса, т. е. называют фазой. Фаза характеризует состояние колебания (числовое значение) в данный момент времени

Любая синусоидально изменяющаяся функция определяется тремя величинами: амплитудой, угловой частотой и начальной фазой.

В странах СНГ и Западной Европе наибольшее распространение получили установки синусоидального тока частотой 50 Гц, принятой в энергетике за стандартную. В США стандартной является частота 60 Гц. Диапазон частот практически применяемых синусоидальных токов очень широк: от долей герца, например в геологоразведке, до миллиардов герц в радиотехнике.

Синусоидальные токи и ЭДС сравнительно низких частот (до нескольких килогерц) получают с помощью синхронных генераторов (их изучают в курсе электрических машин). Синусоидальные токи и ЭДС высоких частот получают с помощью ламповых или полупроводниковых генераторов (подробно рассматриваемых в курсе радиотехники и менее подробно - в курсе ТОЭ).

Источник синусоидальной ЭДС и источник синусоидального тока обозначают на электрических схемах так же, как и источники постоянной ЭДС и тока, но обозначают их и

Синусоидальный ток

Синусоидальный ток представляет собой функцию времени. То есть в отличие от постоянного тока его значение меняется с течением времени. Основными характеристиками синусоидального тока являются. Амплитуда частота и начальная фаза.

Частота f это количество колебаний в единицу времени. За единицу времени в системе СИ принимается одна секунда. Таким образом, количество колебаний за секунду это и есть частота синусоидального тока. И измеряется она в Герцах. Названа в честь ученого Герца. Величина обратная частоте называется периодом колебания T=1/f . Период измеряется в секундах. Определение периода звучит так период это время полного колебания. Если представить себе маятник часов то период это время за которое он совершит движение из одного крайнего положения в другое и обратно.

Амплитуда синусоидального тока это максимальное значение тока, которое он достигает за период колебания. Опять же если рассматривать на примере маятника, то амплитуда это расстояние от положения равновесия до одного из крайних положений.

Начальная фаза синусоидального тока это то время, на которое отстает либо опережает синусоида начальный момент времени. Представим две синусоиды одна, из которых начинается условно в нуле а другая в 1. То можно сказать, что вторая синусоида отстаёт по фазе от первой. Если обе синусоиды начинаются в одной точке то можно сказать что они синфазные, то есть имеют одну фазу. При этом они обе могут отставать от начального момента времени на одну и ту же величину, то есть иметь одинаковую начальную фазу.