Мы познакомимся с понятием комплексного числа, рассмотрим алгебраическую, тригонометрическую и показательную форму комплексного числа. А также научимся выполнять действия с комплексными числами: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня. Не беспокойтесь, я вас напугал, я вас и рассмешу. Для освоения комплексных чисел достаточно уметь выполнять основные алгебраические действия с «обычными» числами, и немного знать тригонометрию.
1) Понятие комплексного числа. 2) Алгебраическая форма комплексного числа. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел. 3) Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа. 4) Возведение комплексных чисел в степень. 5) Извлечение корней из комплексных чисел. Квадратное уравнение с комплексными корнями.
Сначала вспомним «обычные» школьные числа. В математике они называются множеством действительных чисел и обозначаются буквой (в литературе, рукописях заглавную букву «эр» пишут жирной либо утолщённой). Все действительные числа изображаются на числовой прямой:
Компания действительных чисел очень пёстрая – здесь и целые числа, и дроби, и иррациональные числа. При этом каждой точке числовой обязательно соответствует некоторое действительное число.
Понятие комплексного числа
Прежде чем, мы перейдем к рассмотрению комплексных чисел, дам важный совет: не пытайтесь представить комплексное число «в жизни» – это всё равно, что пытаться представить четвертое измерение в нашем трехмерном пространстве. Если хотите, комплексное число – это двумерное число.
Комплексным числом называется число вида , где и – действительные числа, – так называемая мнимая единица . Число называется действительной частью ( ) комплексного числа , число называется мнимой частью ( ) комплексного числа .
– это ЕДИНОЕ ЧИСЛО, а не сложение. Действительную и мнимую части комплексного числа, в принципе, можно переставить местами: или переставить мнимую единицу: – от этого комплексное число не изменится. Но стандартно комплексное число принято записывать именно в таком порядке :
Чтобы
всё было понятнее, сразу приведем
геометрическую интерпретацию. Комплексные
числа изображаются на комплексной
плоскости
:
Как
упоминалось выше, буквой принято
обозначать множество действительных
чисел. Множество
же комплексных
чисел
принято
обозначать «жирной» или утолщенной
буквой .
Поэтому на чертеже следует поставить
букву ,
обозначая тот факт, что у нас комплексная
плоскость.
Комплексная плоскость состоит из двух осей: – действительная ось, – мнимая ось
Правила оформления чертежа практически такие же, как и для чертежа в декартовой системе. По осям нужно задать размерность, отмечаем: ноль; единицу по действительной оси; мнимую единицу по мнимой оси.
Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа (см. стр 3):
По какому принципу отмечены числа на комплексной плоскости, думаю, очевидно – комплексные числа отмечают точно так же, как мы отмечали точки еще в 5-6 классе на уроках геометрии.
Рассмотрим следующие комплексные числа: , , . Вы скажете, да это же обыкновенные действительные числа! И будете почти правы. Действительные числа – это частный случай комплексных чисел. Действительная ось обозначает в точности множество действительных чисел , то есть на оси сидят все наши «обычные» числа. Более строго утверждение можно сформулировать так: Множество действительных чисел является подмножеством множества комплексных чисел .
Числа , , – это комплексные числа с нулевой мнимой частью. Числа , , – это, наоборот, чисто мнимые числа , т.е. числа с нулевой действительной частью. Они располагаются строго на мнимой оси .
В числах , , , и действительная и мнимая части не равны нулю. Такие числа тоже обозначаются точками на комплексной плоскости, при этом, к ним принято проводить радиус-векторы из начала координат (обозначены красным цветом на чертеже). Радиус-векторы к числам, которые располагаются на осях, обычно не чертят, потому-что они сливаются с осями.
ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
Уже простейшие алгебраические операции над действительными числами (извлечение квадратного корня из отрицательного числа, решение квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом) выводят за пределы множества действительных чисел. Дальнейшее обобщение понятия числа приводит к комплексным числам. Замечательным свойством множества комплексных чисел является его замкнутость относительно основных математических операций. Иначе говоря, основные математические операции над комплексными числами не выводят из множества комплексных чисел.
Комплексным числом (в алгебраической форме ) называется выражение
где - произвольные действительные числа, - мнимая единица , определяемая условием .
Число называется действительной частью комплексного числа , обозначается (от латинского «realis »), число называется мнимой частью комплексного числа и обозначается (от латинского «imaginarius »).
Два комплексных числа и равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: , . Два комплексных числа равны либо не равны (понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся).
Комплексно-сопряженным к числу называется число . Очевидно, комплексно-сопряженное число к числу совпадает с числом : .
Арифметические операции. Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел производят по обычным правилам алгебры.
Пусть , . Тогда
разность ,
произведение ,
частное (при )
Пример 1 . Заданы комплексные числа , .
Найти , , .
Решение . ;
Задача 1 . Пусть и - пара комплексно-сопряженных чисел. Показать, что их сумма есть действительное число, разность - мнимое число, а произведение есть действительное неотрицательное число.
Пример 2 . Найти , .
Решение . ; .
Замечание. Степени числа можно представить в виде таблицы
Пример 3. Перемножить числа и .
Решение .
Пример 4. Вычислить а) ; б) ; в) .
Решение .
а) Раскроем квадрат разности:
б) Раскроем куб суммы:
Пример 5. Найти частное , если .
Решение .
Пример 6. Вычислить а) , б) .
Решение . а) .
Запомним:
Геометрическая интерпретация комплексного числа.
Рассмотрим декартову прямоугольную систему координат. Отложим по оси абсцисс действительную часть комплексного числа , а по оси ординат - его мнимую часть . Получим точку с координатами . При этом каждому комплексному числу соответствует одна точка плоскости. Верно и обратное: каждой точке плоскости можно поставить в соответствие комплексное число , действительная часть которого равна абсциссе точки, а мнимая часть равна ординате точки. Таким образом, между комплексными числами и точками плоскости устанавливается взаимно однозначное соответствие. (Ранее мы говорили о взаимно однозначном соответствии между действительными числами и точками числовой прямой).
Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью . Для отличия её от действительной плоскости в правом верхнем углу пишут букву , обведенную кружком. Ось абсцисс на такой плоскости называют действительной осью, а ось ординат - мнимой осью. Комплексно-сопряженное число - это зеркальное отражение заданного комплексного числа относительно действительной оси. Начало координат называется нуль-точкой. Расстояние комплексного числа от начала координат называется модулем этого числа:
Задача 2. Доказать, что .
Модуль разности двух комплексных чисел - это расстояние между соответствующими точками:
Каждой точке комплексной плоскости поставим в соответствие вектор с началом в нуль-точке и концом в данной точке. Очевидно, это соответствие взаимно однозначно. В такой интерпретации действительная и мнимая части комплексного числа - это первая и вторая компоненты вектора. Сумма представляется теперь диагональю параллелограмма, построенного на векторах и , разность понимается как . Модуль комплексного числа представляет собой длину вектора. Геометрически очевидным является неравенство треугольника в комплексной плоскости: .
Пример 7. Указать геометрическое место точек на комплексной плоскости, для которых
| а) ; | б) ; |
| в) ; | г) . |
Решение . а) Так как , то заданное двойное неравенство можно переписать в виде: . Получили вертикальную полосу.
б) Так как , то заданное двойное неравенство перепишем в виде: . Получили горизонтальную полосу. Задачи в) и г) решить самостоятельно.
Пример 8.
Решение . а) Модуль комплексного числа - это длина вектора, идущего из нуль-точки в точку , т.е. расстояние от начала координат до точки . Значит, в случае речь идет о геометрическом месте точек плоскости, равноудаленных от начала координат - это окружность (в данном случае радиус окружности равен 1). Можно было перевести задачу на язык декартовых координат:
б) Здесь речь идет о геометрическом месте точек, находящихся вне круга радиуса (с центром в начале координат).
в) точки находятся в кольце между окружностями радиуса и .
Пример 9. Указать геометрическое место точек на комплексной плоскости, для которых а) ; б) ; в) .
Решение . а) Модуль разности - это расстояние между точкой комплексной плоскости и точкой 1. Значит, речь идет о геометрическом месте точек, равноудаленных (на расстояние 1) от точки 1, - это окружность радиуса 1 с центром в точке (1;0). На языке координат:
б) Точки находятся одновременно в круге с центром в начале координат и в круге с центром, смещенным в точку : .
в) Это точки правой полуплоскости , лежащие внутри круга : .
Тригонометрическая форма комплексного числа. Аргументом комплексного числа называют угол , который составляет вектор с положительным направлением действительной оси, . Этот угол определяется неоднозначно:
Здесь - главное значение аргумента, оно выделяется неравенствами (т.е. на комплексной плоскости проводится разрез по действительной оси влево от начала координат).
В первом столбце указан для числа , лежащего на действительной или мнимой оси, а во втором столбце - для всех остальных комплексных чисел.
Обозначим . Так как , , то комплексное число можно представить в тригонометрической форме :
Два комплексных числа и , заданных в тригонометрической форме
в силу неоднозначности аргумента равны тогда и только тогда, когда , .
Пример 10. Найти модули и аргументы, а также главные значения аргументов комплексных чисел . Записать каждое из них в тригонометрической форме.
Решение . Модули всех этих чисел одинаковы:
Аргумент каждого числа находим, учитывая четверть, в которой лежит соответствующая точка.
1) Точка лежит в первой четверти, значит,
В тригонометрической форме , здесь учтена - периодичность косинуса и синуса.
2) Точка лежит во второй четверти, значит,
3) Точка лежит в третьей четверти, значит,
4) Точка лежит в четвертой четверти, значит,
Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме. Пусть числа и заданы в тригонометрической форме: , . Перемножим их:
Вспоминая формулы для косинуса и синуса суммы двух углов, получаем
Мы видим, что при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Геометрический смысл этой операции: представляя числа и векторами на комплексной плоскости, исходящими из нуль-точки, видим, что вектор получается из вектора «растяжением» в раз и поворотом на угол .
Для частного получаем формулу:
Пример 11. Найти произведение и частное чисел
Решение . В соответствии с формулой (1) запишем:
Проверим результат, перемножая эти числа в алгебраической форме:
По формуле (2) находим
В алгебраической форме эта операция запишется так:
Возведение комплексного числа в степень. Из формулы (1) следует, что возведение в степень комплексного числа производится по правилу
Пример 12. Вычислить 1) ; 2) .
Решение . 1) Выше мы получили запись комплексного числа в тригонометрической форме: . По формуле (3) находим . Этот же результат был получен выше в примере 4в) с помощью бинома Ньютона.
2) Прежде всего представим число в тригонометрической форме.
точка лежит в четвертой четверти, значит, . Поэтому
Остается воспользоваться формулой (3):
Раскрывая куб разности, получим тот же результат (проверьте!).
При формула (3) превращается в формулу Муавра :
С её помощью легко получаются соотношения, выражающие синусы и косинусы кратных углов с и .
Пример 13. Выразить и через и .
Решение . Полагая в формуле Муавра , получим:
Слева раскроем куб суммы и соберем подобные члены:
Здесь учтено, что . Пришли к равенству двух комплексных чисел в алгебраической форме
которое справедливо в том и только в том случае, когда равны действительные и мнимые части этих чисел.
Равенство действительных частей дает ;
приравнивая мнимые части, получаем .
Извлечение корня из комплексного числа. Если комплексные числа и связаны соотношением , то . Представим числа и в тригонометрической форме:
Наша задача - по заданному числу (т.е. по известным и ) определить (т.е. и ). В соответствии с формулой (3) равенство запишется в виде
Из равенства двух комплексных чисел в тригонометрической форме следует:
Здесь - корень -ой степени из действительного неотрицательного числа. Значит, для корня -ой степени из комплексного числа получаем формулу
Полагая последовательно , получим различных значений :
Все эти корни имеют одинаковые модули , т.е. соответствующие точки располагаются на окружности радиуса с центром в начале координат. Аргументы двух соседних корней отличаются на угол . Значит, все значения корня -ой степени из комплексного числа находятся в вершинах правильного -угольника, вписанного в окружность радиуса .
Пример 14. Найти все значения корня -ой степени из комплексного числа и изобразить их на комплексной плоскости, если. Заметим, что и при. . Получили два комплексно-сопряженных корня.
Примеры с решением комплексных чисел даны в конце статьи, а пока разберемся с тем, что же такое комплексные числа.
В математике кроме натуральных, рациональных и вещественных чисел имеется ещё один вид, называемый комплексными числами . Такое множество принято обозначать символом.
Рассмотрим, что из себя представляет комплексное число. Запишем его таким образом: , в котором мнимая единица , числа вещественные.
Если положить, то комплексное число превращается в вещественное. Таким образом, можно сделать вывод, что действительные числа это частный случай комплексных и записать это в виде подмножества. К слову говоря также возможно, что.
Принято записывать мнимую часть комплексного числа как, а действительную.
Введем понятие комплексно-сопряженных чисел. К каждому комплексному числу существует такое, что, которое и называется сопряженным. Такие числа отличаются друг от друга только знаками между действительной и мнимой частью.
Форма комплексного числа
Так сложилось в математике, что у данных чисел несколько форм. Число одно и тоже, но записать его можно по-разному:
- Алгебраическая
- Показательная
- Тригонометрическая
Изображение комплексных чисел
Изучение выше мы начали с алгебраической формы. Так как она является основополагающей. Чтобы было понятно в этой же форме изобразим комплексное число на плоскости:
Видим, что расположены на соответствующих осях плоскости.
Комплексное число представляется в виде вектора.
Аргумент обозначается.
Модуль равняется длине вектора и находится по формуле
Аргумент комплексного числа нужно находить по различным формулам в зависимости от полуплоскости, в которой лежит само число.
Операции над комплексными числами
Над комплексными числами можно проводить различные операции, а именно:
- Складывать и вычитать
- Умножать и делить
- Извлекать корни и возводить в степень
- Переводить из одной формы в другую
Для нахождения суммы и разности складывается и вычитаются только соответствующие друг другу члены. Мнимая часть только с мнимой, а действительная только с действительной:
Умножение в алгебраической форме :
Умножение в показательной форме :
Деление в алгебраической форме :
Деление в показательной форме :
Для возведения в степень необходимо умножить комплексное число само на себя необходимое количество раз, либо воспользоваться формулой Муавра:
Для извлечения корней необходимо также воспользоваться формулой Муавра:
Так же теория комплексных чисел помогает находить корни многочленов. Например, в квадратном уравнении, если, то вещественных корней нет, но есть комплексные. В последнем примере рассмотрен данный случай.
Рассмотрим на практике комплексные числа: примеры с решением.
Примеры с решением
| Пример 4 |
| Возвести комплексное число в степень: a) б) |
| Решение |
|
Для возведения в квадрат достаточно умножить число само на себя: Пользуемся формулой для умножения, раскрываем скобки и приводим подобные: Получили ответ, что В этом случае не всё так просто как в предыдущем случае, когда было возведение в квадрат. Конечно, можно прибегнуть к способу озвученному ранее и умножить число само на себя 7 раз, но это будет очень долгое и длинное решение. Гораздо проще будет воспользоваться формулой Муавра. Но она работает с числами в тригонометрической форме, а число задано в алгебраической. Значит, прежде переведем из одной формы в другую. Вычисляем значение модуля: Найдем чем равен аргумент: Записываем в тригонометрическом виде: Возводим в степень: Преобразуем в алгебраическую форму для наглядности: |
| Ответ |
В статье "Комплексные числа: примеры с решением" было дано определение, основные понятия, формы записи, алгебраические операции и решение практических примеров.
