Цели.
Образовательная:
1. Знать определение графика уравнения с двумя переменными;
2. Знать, что является графиком линейного уравнения с двумя переменными;
3. Уметь строить график линейного уравнения с двумя переменными.
Развивающая: учить анализировать, сравнивать, обобщать определять и объяснять понятия, т.е. умение мыслить.
Воспитательная: развивать нравственные отношения у школьников с окружающим миром (качество честности, трудолюбие).
Оборудование:
рабочая карта;
кроссворд;
карта-таблица;
карточки для дополнительного уровневого задания;
таблица “Уравнения с двумя переменными и их графики”;
таблица “Расположение графиков линейного уравнения с двумя переменными относительно осей координат”.
Ход урока
1. Запись домашней работы: (учитель проговаривает)
п.41, повторить п.п.15-16.
№1046, №1049, для желающих № 1152 - график с параметром.
2. Проверка домашнего задания. (До урока на перемене)
Выразить одну переменную через другую (а, б)
№1034(б), №1140 (а)
На доске “Проверь себя” (До урока на перемене учащиеся проверяют домашнее задание, сверяя с решением на доске.) – решение уравнений, критерии оценок.
(Выразить одну переменную через другую (а, б))
а) 6х - у = 12;
б) 10х + 7у = 0;
у = (7 - 6х) / 2;
у = 3,5 – 3х;
Точки: (0; 3,5), (1; 0,5), (2;-2,5).
ах – 2у = 1, х=5, у = 7, а = ?
Критерий:
Все решено правильно и самостоятельно - “5”;
Все решено правильно, но с помощью - “4”;
Решено с помощью и с ошибкой - “3”.
№ 1140 - оценивается по тем же критериям, только “5” и “4”.
После записи домашней работы предлагаю выставить оценки согласно критериям каждому за свою домашнюю работу (самооценка) в рабочую карту (предварительно подписав карт). Рабочая карта отражена на рисунке 4.
3. Совместная постановка цели урока.
Читаем тему урока на доске.
Ребята, как вы думаете, что должны знать и чему научиться на этом уроке?
А что бы этого достичь, нужно анализировать, сравнивать, объяснять понятия. Работая в классе, необходимо с уважением относиться к окружающим и быть предельно честным.
Для успешной работы повторим теоретический материал, разгадывая кроссворд. Кроссворды находятся в каждой группе (на работу 3 минуты).
Рисунок 1. Кроссворд.
Вопросы к кроссворду:
1. Что является графиком линейной функции?
2. Один из способов задания функции.
3. Пара чисел, изображающаяся в координатной плоскости.
4. Независимая переменная.
5. Множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции.
6. Зависимость между переменными, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственной значение зависимой переменной.
7. Какими называются уравнения с двумя переменными имеющие одни и те же решения, или не имеющие решений?
Чья группа угадает быстрее, получает жетон. Всего дается три жетона, т.е. первым трем группам.
Для тех, кто закончил работу, на доске задание (устно):
1. Назвать коэффициенты в уравнениях;
2. Выразить у через х из уравнений:
у = 3,5 - 2,5х.
2х – у = 11;
3. Как назвать эти равенства:
|х| + |у| = 10.
Внимание на доску, проверим кроссворд. (Ответы на кроссворд и критерий оценки работы на доске:)
2. Формула.
4. Аргумент.
5. График.
6. Функция.
7. Равносильными.
Критерий: Быстро и правильно - два “+”, отметить на жетоне номер группы;
Правильно - один “+”.
Поднимите руку, кто получил два “+”, один “+”. Кто не угадал, повторить определения.
Переходим к проверке (решению) устного упражнения:
1. Проговариваем коэффициенты;
2. Выражаем у через х из уравнений;
3. Называем эти равенства - уравнениями с двумя переменными.
Что является решением уравнения с двумя переменными? (Пара значений переменных - х и у )
Сколько решений имеет уравнение с двумя переменными? (Много)
Как изображается пара значений переменных на координатной плоскости? (Точкой)
Сколько таких точек можно изобразить? (Много)
Что является координатами каждой из этих точек? (Абсцисса - значение х , ордината - значение у )
Что образуют все эти точки на координатной плоскости? (График)
Так что называется графиком уравнения с двумя переменными? (Множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения)
Откройте учебник, п.41 и найдите это определение. Прочитаем его. Повторим. А теперь посмотрите на доску. (На доске таблица уравнений с двумя переменными и их графики – рисунок 2).
Рисунок 2. Уравнения с двумя переменными и их графики.
Что вы видите на таблице? (Уравнения с двумя переменными и их графики).
Есть ли среди них линейные уравнения с двумя переменными? (Нет)
Графики этих уравнение вы будите изучать в старших классах. А мы с вами должны узнать, что является графиком линейного уравнения с двумя переменными.
4. Изучение нового материала.
Открыли тетради, записали тему урока. Дайте определение линейной функции и запишем:
где х и у - переменные, k , b - некоторые числа.
Дайте определение линейного уравнения с двумя переменными и запишем:
ах + bу = с,
где х и у - переменные, а, b, с - некоторые числа.
Сравните, что общего в этих видах математической записи (входят две переменные х и у , числа).
Как по-другому называются числа? (Коэффициенты).
Чем отличаются? (Количеством чисел 2 и 3; в первом - выражена зависимость - функция, во втором - не выражена - уравнение).
А можно ли в линейном уравнении с двумя переменными выразить зависимость одной переменной от другой? (Да).
Давайте выразим зависимость переменной у от переменной х в линейном уравнении с двумя переменными:
где х и у - переменные, а, b, с - некоторые числа.
Выражаем в общем виде: bу = с - ах .
Что сейчас мы должны обязательно оговорить? (Что коэффициент при переменной у не равен нулю):
у = (с – ах) / b, при условии b 0 .
у = (с / b) – (а / b)х.
Запишем в стандартном виде:
у = – (а / b)х + (с / b).
Таким образом, мы получили вид линейной функции у = kx + b , только по-другому записаны числа.
Что является графиком линейной функции? (Прямая).
Что необходимо, что бы построить прямую? (Построить две точки).
А почему две точки? (Согласно аксиоме).
Так что же является графиком линейного уравнения с двумя переменными, если коэффициент при у не равен нулю (т.е. b 0 )? (Прямая).
Что является координатами каждой из точек? (Пара значений переменных х и у , которые являются решением данного уравнения).
Запишем уравнение 2х - у = 3 . Коэффициент при переменной у не равен нулю. Запишите одно решение (спрашиваю троих и записываю три решения).
Как проверить, что каждая пара значений переменных х и у , является решением этого уравнения? (Подставить в уравнение вместо переменных х и у их значения. Если равенство верное, значит, пара чисел является решением).
Как нашли это решение? (Х - произвольное значение, у - находим).
Какую фигуру будет изображать пара чисел, являющаяся решением линейного уравнения на координатной плоскости? (Точку).
Сколько пар решений нужно, чтобы построить график? (Две пары).
Мы рассмотрели с вами общий случай построения графика линейного уравнения с двумя переменными. Кроме общего случая существуют частные случаи построения графиков, когда хотя бы один из коэффициентов равен нулю.
Постановка проблемного вопроса.
А что же является графиком линейного уравнения с двумя переменными, если хотя бы один из коэффициентов равен нулю?
Для ответа на этот вопрос предлагается работа по группам. Возьмите карты-таблицы “Что является графиком уравнения ax + by = с , если хотя бы один из коэффициентов равен нулю?”. Подпишите их. Карта-таблица представлена на рисунке 3.
Смотрим таблицу. В первом столбце записаны уравнения. Второй столбец вы должны заполнить, записывая коэффициенты линейных уравнений. Потом записываете пары решений для каждого из уравнений. Затем в соответствии с координатной плоскостью строите графики. И в последнем столбце записываете, что является графиком. Таблица заполняется по строкам. (При этой работе вызываю по одному ученику для заполнения карты-таблицы на доске после некоторого времени, когда большинство заполнят).
Если группа заканчивает работу раньше других, то на доске задание, которое выполняется устно.
По окончании работы заслушиваю двух человек. Обобщаем, что же является графиком линейного уравнения, если хотя бы один из коэффициентов равен нулю? (Прямая).
Рисунок 3 . Карта-таблица “Что является графиком уравнения ax + by = с , если хотя бы один из коэффициентов равен нулю?”.
Внимание на доску! (На доске таблица с графиками линейных уравнений).
Какого случая у нас нет? (а 0, b 0, с = 0 ). Что является графиком? (Прямая пропорциональность).
А теперь найдите в тексте учебника п.41 определение графика линейного уравнения с двумя переменными и зачитайте его.
Повторим, что является графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов не равен нулю? (Прямая).
А можно ли по виду линейного уравнения с двумя переменными определить, что является графиком данного уравнения? (Можно).
На доске записаны линейные уравнения с двумя переменными:
1) 4х - 3у = 5;
3) 0х + 0у = 0;
Назвать уравнения, графиком которых является прямая, плоскость, нет графика. (Прямая - 1, 2, 5; плоскость - 3; нет графика - 4, 6).
И еще раз, что же является графиком линейного уравнения с двумя переменными, если хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля.
А сейчас за работу с картой-таблицей консультант проставит каждому оценки в рабочую карту. Критерий оценки - как для домашнего задания. Поднимите руку, кто справился на “5”, кто на “4”.
5. Закрепление материала.
Самостоятельная работа на доске (проверка у консультанта, консультант проверяет у группы).
Постройте график уравнения:
а) 2х - у = 6 ;
б) х + 6у = 0 ;
в) 1,2х = - 4,8 ;
г) 1,5у = 6 .
Критерий оценки (на доске):
правильно решены все - “5”;
правильно решены 4-5 - “4”;
правильно решены 3 - “3”.
Поднимите руку, кто справился на “5”, кто на “4”, кто на “3”.
Тому, кто закончит раньше, даются уровневые карточки.
6. Рефлексия.
На рабочей карте (рисунок 4) имеются незаконченные предложения. Пожалуйста, закончите их.
На уроке мне было легко при...
На уроке я испытывал(а) трудности при...
Рисунок 4 . Рабочая карта.
Рабочие карты сдать консультанту для итоговой оценки. Консультанты сдадут мне.
Урок окончен! До свидания!
Линейное уравнение с двумя переменными - любое уравнение, которое имеет следующий вид: a*x + b*y =с . Здесь x и y есть две переменные, a,b,c - некоторые числа.
Решением линейного уравнения a*x + b*y = с, называется любая пара чисел (x,y) которая удовлетворяет этому уравнению, то есть обращает уравнение с переменными x и y в верное числовое равенство. Линейное уравнение имеет бесконечное множество решений.
Если каждую пару чисел, которые являются решением линейного уравнения с двумя переменными, изобразить на координатной плоскости в виде точек, то все эти точки образуют график линейного уравнения с двумя переменными. Координатами точками будут служить наши значения x и у. При этом значение х будет являться абсциссой, а значение у - ординатой.
График линейного уравнения с двумя переменными
Графиком линейного уравнения с двумя переменными называется множество всевозможных точек координатной плоскости, координаты которых будут являться решениями этого линейного уравнения. Несложно догадаться, что график будет представлять собой прямую линию. Поэтому такие уравнения и называются линейными.
Алгоритм построения
Алгоритм построения графика линейного уравнения с двумя переменным.
1. Начертить координатные оси, подписать их и отметить единичный масштаб.
2. В линейном уравнении положить х = 0, и решить полученное уравнение относительно у. Отметить полученную точку на графике.
3. В линейном уравнении в качестве у взять число 0, и решить полученное уравнение относительно х. Отметить полученную точку на графике
4. При необходимости взять произвольное значение х, и решить полученное уравнение относительно у. Отметить полученную точку на графике.
5. Соединить полученные точки, продолжить график за них. Подписать получившуюся прямую.
Пример: Построить график уравнения 3*x - 2*y =6;
Положим х=0, тогда - 2*y =6; y= -3;
Положим y=0, тогда 3*x = 6; x=2;
Отмечаем полученные точки на графике, проводим через них прямую и подписываем её. Посмотрите на рисунок ниже, график должен получиться именно таким.
Как известно, существуют уравнения, содержащие две переменные, например, выражения вида:
Помимо числовых значений подобные выражения содержат два одночлена, включающие неизвестные переменные. Мы уже рассматривали в прошлых видео свойства подобных выражений, а также способы нахождения корней.
Любое уравнение с двумя переменными имеет ответ в виде пары чисел, которые являются значениями х и у. Чаще всего ответов бывает бесконечное множество, соответствующее двум множествам чисел х и у. Кроме того, подобные уравнения могут иметь всего лишь один корень либо не иметь ответа вообще. Но, в любом случае, если задано некое значение х, то при наличии действительного равенства найдется соответствующее значение у. Иными словами, ответ на уравнение с двумя переменными всегда представляет собой пару чисел.
Уравнение вида:
можно тождественно преобразовать, получив равносильное выражение:
у = 2,5 - 0,5х
Переместив слагаемые таким образом, чтобы оставить у с левой стороны, а х и все остальные одночлены - с правой, а также поделив обе части выражения на 2, мы получаем равносильное уравнение. Оно, по сути, является некоторой зависимостью между аргументом х и значением у. В данном выражении эта зависимость представлена аналитической линейной формой. Но её можно представить и графически, отобразив математический график в декартовой системе координат. Для этого значения аргумента рассчитывают по оси абсцисс, а значения функции - по оси ординат.
Иначе говоря, в случае уравнений с двумя переменными мы можем тождественно преобразовать их до равносильных удобных формул, после чего использовать пары корней, соответствующих верному решению этого уравнения, как координаты точек в Декартовой системе. Несколько решений уравнений дадут несколько точек, соединяемых в единый график - некую кривую линию.
В тоже время, зависимости, которые прослеживаются между переменными в одном уравнении, не всегда являются функциями в строгом определении этого понятия. К примеру, рассмотрим два уравнения:
С первого взгляда, оба равенства довольно похожи. Построим график зависимости для каждого из них. Как мы можем убедиться на видео, графики этих выражений достаточно сильно отличаются друг от друга. Если для уравнения у + х = 9 графиком является прямая линия, не проходящая через центр координат, то у 2 + х 2 = 9 имеет график в виде правильной окружности, описанной с центром в точке (0, 0). Если мы попытаемся при помощи графика определить значение у при заданном х, то увидим, что каждому аргументу соответствуют два значения у. Любой перпендикуляр, проведенный к оси абсцисс, в пределах круга обязательно пересечет круг в двух точках с одинаковым аргументом, но с противоположными значениями у. Математически это можно пояснить следующим образом:
х 2 + у 2 = а
у 2 = а - х 2
у = корень квадратный (а - х 2)
Любое отрицательное значение не может дать квадратных корней, а любое положительное всегда образует пару чисел в качестве ответа, одинаковых по значению, но противоположных по знаку. Иными словами, каждому значению у при подобной зависимости будет соответствовать два аргумента, что противоречит основному принципу функции.
Выражение вида у + х = 9, тем не менее, является обычной линейной функцией, так как вполне отвечает её требованиям. Любые уравнения с двумя переменными могут быть, а могут и не быть функциями.
Рассмотрим выражение абстрактного вида:
Любое равенство, соответствующее данной формуле, называется линейным уравнением с двумя переменными. Его графиком, в общем случае, является прямая линия, а корнями, как правило, - множество пар х и у. Исключения возможны при обнулении какого либо коэффициента - а, b, или свободного члена с. Если b = 0, но если а не равно 0, то ответами уравнения будет множество пар значений, у которых х будет всегда равен одному числу, а у - любому значению. Действительно, в уравнении:
х всегда равен 3, а у может быть равным любому числу, так как эта переменная все равно обнуляется.
Если а = 0, b = 0, но свободный член не равен 0, то уравнение не имеет верных решений, так как при любых раскладах нарушается принцип равенства. Графиком этого уравнения будет пустое множество. И, наконец, если все а, b, с = 0, то любое сочетание х и у является правильным решением уравнения, а график охватывает все числовое множество (плоскость Декартовой сети).
Для закрепления материала построим график уравнения:
Преобразуем выражение в линейное уравнение с двумя переменными:
1/3(х) + 0у = 1
0у = 1 - 1/3(х)
Графиком этого выражения будет прямая, перпендикулярная к оси абсцисс в точке (3, 0). При любых у значение аргумента всегда равно 3.
Определение: ax + by + c = 0, где a, b и c – числа (также их называют коэффициенты), причем a и b не равны нулю, x и y – переменные, называют линейным уравнением с уравнение вида двумя переменными. Пример 1: 5 x – 2 y + 10 = 0 – линейное уравнение с двумя переменными: a = 5, b = -2, c = 10, x и y – переменные. Пример 2: – 4 x = 6 y – 14 – также является линейным уравнением с двумя переменными. Если перенести все члены уравнения в левую часть, то получим это же уравнение, записанное в общем виде: – 4 x – 6 y + 14 = 0, где а = – 4, b = – 6, c = 14, x и y – переменные. Общим видом линейного уравнения с двумя переменными называют запись: ax + by + c = 0, когда все члены уравнения записаны в левой части от знака = , а в правой части записан нуль. Пример 3: 3 z – 5 w + 15 = 0 – также является линейным уравнением с двумя переменными. В данном случае переменными являются z и w. В качестве переменных вместо x и y могут быть любые буквы латинского алфавита.
Таким образом, линейным уравнением с двумя переменными, можно назвать любое уравнение, содержащее две переменные, за исключением двух случаев: 1. Когда переменные в уравнении возведены в степень, отличную от первой! Пример 1: -5 x 2 + 3 y + 9 = 0 – не является линейным уравнением, так как переменная x во второй степени. Пример 2: 6 x – y 5 + 12 = 0 – не является линейным уравнением, так как переменная у в пятой степени. 2. Когда уравнение содержит переменную в знаменателе! Пример 3: 2 x + 3/y + 18 = 0 – не является линейным уравнением, так как переменная у содержится в знаменателе. Пример 4: 1/x – 2/y + 3 = 0 – не является линейным уравнением, так как переменные х и у содержатся в знаменателе.
Определение: Решением линейного уравнения с двумя переменными ax + by + c = 0, называется всякая пара чисел (х; у), которая, при подстановке в данное уравнение, превращает его в верное равенство. Пример 1: Для линейного уравнения 5 x – 2 y + 10 = 0 решением является пара чисел (-4; -5). В этом легко убедиться, если подставить в уравнение х = -4 и у = -5: 5·(-4) – 2·(-5) + 10 = 0 -20 + 20 = 0 – верное равенство. Пример 2: Для того же уравнения 5 x – 2 y + 10 = 0 пара чисел (1; 4) не является решением: 5·1 – 2·4 + 10 = 0 5 – 8 + 10 = 0 7 = 0 – не верное равенство.
Для любого линейного уравнения с двумя переменными, можно подобрать бесконечное количество пар чисел (х; у), которые будут являться его решениями. Действительно, для линейного уравнения из предыдущего примера 5 x – 2 y + 10 = 0, помимо пары чисел (-4; -5), решениями будут являться пары чисел: (0; 5), (-2; 0), (2; 10), (-3; -2, 5), (-1; 2, 5) и т. д. Такие пары чисел можно подбирать бесконечно. Замечание: Решение линейного уравнения с двумя переменными записывается в круглых скобках, причем на первом месте всегда записывается значение переменной х, а на втором месте всегда записывается значение переменной у!
Графиком линейного уравнения с двумя переменными ax + by + c = 0 является прямая линия. Например: график уравнения 2 х + у – 2 = 0 выглядит как показано на рисунке. Все точки прямой линии на графике являются решениями для данного линейного уравнения. График линейного уравнения с двумя переменными является геометрической моделью этого уравнения: таким образом, с помощью графика, можно изобразить бесконечное множество решений линейного уравнения с двумя переменными.
Как построить график линейного уравнения ax + by + c = 0 ? Запишем план действий: 1. Задать прямоугольную систему координат для того, чтобы изобразить все решения линейного уравнения (х; у), мы воспользуемся прямоугольной системой координат, где по оси Ох мы будем откладывать значения переменной х, а по оси Оу – значения переменной у. 2. Подобрать две пары чисел: (х1; у1) и (х2; у2), являющиеся решениями для данного линейного уравнения На самом деле, мы можем подбирать сколько угодно решений (х; у), все они будут лежать на одной прямой. Но для того, чтобы провести прямую – график линейного уравнения, нам достаточно всего двух таких решений, ведь мы знаем, что через две точки можно провести только одну прямую. Подобранные решения принято записывать в виде таблицы: х х1 х2 у у1 у2 3. Изобразить точки (х1; у1) и (х2; у2) в прямоугольной системе координат. Провести через эти две точки прямую линию – она и будет графиком уравнения ax + by + c = 0.
Пример: построим график линейного уравнения 5 x – 2 y + 10 = 0: 1. Зададим прямоугольную систему координат х. Оу: 2. Подберем два решения для нашего уравнения и запишем их -4 -2 х в таблицу: у -5 0 Для уравнения 5 x – 2 y + 10 = 0 решениями являются, к примеру, пары чисел: (-4; -5) и (-2; 0) (см. слайд 5). Запишем их в таблицу. Примечание: пара чисел (2; 10) также является решением для нашего уравнения (см. слайд 5), но координату у = 10 в нашей системе координат строить неудобно, так как у нас по оси у вверх отложено всего 7 клеточек, а продолжить ось места нет. Поэтому: чтобы построить график линейного уравнения, из всего бесконечного множества решений, мы подбираем такие пары чисел (х; у), которые удобнее построить в прямоугольной системе координат!
Пример: построим график линейного уравнения 5 x – 2 y + 10 = 0: х -4 -2 у -5 0 3. Строим график: Построим в системе координат точку (-4; -5): По оси х откладываем координату -4 По оси у откладываем координату -5 На пересечении координат получаем первую точку. Аналогично строим точку с координатами (-2; 0): По оси х откладываем координату -2 По оси у откладываем координату 0 На пересечении координат получаем вторую точку. -4 -2 0 -5 Через две точки проводим прямую – график линейного уравнения 5 x – 2 y + 10 = 0
Линейная функция. Если из линейного уравнения ax + by + c = 0 выразить переменную у, то есть переписать уравнение в виде, где у в левой части уравнения, а всё остальное в правой: ax + by + c = 0 – перенесем ax и c в правую часть by = – ax – с – выразим у у = (– ax – с) : b, где b ≠ 0 у = – a/b · х – с/b, обозначим – a/b = k и – с/b = m y = kx + m – получили более простую запись линейного уравнения с двумя переменными. Таким образом, линейное уравнение с двумя переменными, записанное в виде: y = kx + m, где переменные, k и m – коэффициенты, называется линейной функцией. хиу– Переменная х – называется независимой переменной или аргументом. Переменная у – называется зависимой переменной или значением функции.
График линейной функции. Так как линейная функция - это частный вид линейного уравнения с двумя переменными, а графиком линейного уравнения является прямая линия, то можно сделать следующий вывод: графиком линейной функции y = kx + m является прямая линия. Как построить график линейной функции? Задаем прямоугольную систему координат. Находим пары чисел: (х1; у1) и (х2; у2), х х1 х2 являющиеся решениями для линейной у у1 у2 функции и записываем их в таблицу. Для того, чтобы найти решения линейной функции, не обязательно подбирать их в уме, как мы это делали для линейного уравнения. Нужно придать переменной х конкретные значения х1 и х2, и, подставив их поочередно в функцию, посчитать значения у1 = kx 1 + m и у2 = kx 2 + m. Примечание: переменной х можно придавать абсолютно любые значения, но целесообразно брать такие числа, которые нам удобно будет строить в прямоугольной системе координат, например числа 0, 1, -1. 3. Строим точки (х1; у1) и (х2; у2), и проводим через них прямую линию – это и будет график линейной функции.
Пример 1: построим график линейной функции у = 0, 5 х + 4: 1. Зададим прямоугольную систему координат. 2. Заполним табличку: х 0 -2 у 4 3 Придадим переменной х конкретные значения х1 и х2: удобнее взять х1 = 0, так как с нулём легче считать, получаем: у1 = 0, 5·0 + 4 = 4 х2 можно взять равным 1, но тогда у2 получим дробное число: 0, 5 · 1 + 4 = 4, 5 – его неудобно строить на координатной плоскости, удобнее взять х2 равным 2 или -2. Пусть х2 = -2 , получаем: у2 = 0, 5·(-2) + 4 = -1 + 4 = 3 4 3 -2 0 3. Построим на координатной плоскости точки (0; 4) и (-2; 3) проведем через эти точки прямую линию – получим график линейной функции у = 0, 5 х + 4
Пример 2: построим график линейной функции у = -2 х + 1: 1. Зададим прямоугольную систему координат. 2. Заполним табличку: х 0 1 у 1 -1 Придадим переменной х конкретные значения х1 и х2: например х1 = 0, получаем: у1 = -2 ·0 + 1 = 1 1 1 -1 0 пусть х2 = 1 , получаем: у2 = -2· 1 + 1 = -2 + 1 = -1 3. Построим на координатной плоскости точки (0; 1) и (1; -1) проведем через эти точки прямую линию – получим график линейной функции у = -2 х + 1
Пример 3: постройте график линейной функции у = -2 х + 1, и найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-2; 3] 1. Построим график функции (см. предыдущий слайд). Значение функции – это значение переменной у. Таким образом, нужно найти у наибольшее и у наименьшее, если переменная х наименьшее может принимать значения только из промежутка [-2; 3]. 2. Отметим на оси Ох отрезок [-2; 3] 3. Через концы отрезка проводим прямые, параллельные оси Оу, Оу отмечаем точки пересечения этих прямых с графиком. Так как по условию у нас дан отрезок, то точки рисуем закрашенные! 5 - наибольшее 1 1 -2 0 3 наименьшее - -5 4. Находим ординаты полученных точек: у = 5 и у = -5. -5 Очевидно, что наибольшим значением у из промежутка [-5; 5] является у = 5, а 5 наименьшим – у = -5. -5
Вариант 3. Задание № 1: постройте график линейной функции у = 1/2 х – 2. 1. Зададим прямоугольную систему координат. 2. Заполним табличку: х 0 2 у -2 -1 Придадим переменной х конкретные значения х1 и х2: например х1 = 0, получаем: у1 = 1/2 · 0 – 2 = -2 пусть х2 = 2 , получаем: у2 = 1/2 · 2 – 2 = 1 – 2 = -1 0 2 -1 -2 3. Построим на координатной плоскости точки (0; -2) и (2; -1) проведем через эти точки прямую линию – получим график линейной функции у = 1/2 х – 2
Задание № 1: С помощью графика найдите: а) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-2; 4] Значение функции – это значение переменной у. Таким образом, нужно найти у наибольшее и у наименьшее, если переменная х наименьшее может принимать значения только из промежутка [-2; 4]. 1. Отметим на оси Ох отрезок [-2; 4] 2. Через концы отрезка до пересечения с графиком, проводим прямые, параллельные оси Оу. Оу Отмечаем точки пересечения этих прямых с графиком. Так как по условию у нас дан отрезок, то точки рисуем закрашенные! наибольшее - 0 -2 -1 -2 2 4 -3 - наименьшее 3. Находим ординаты полученных точек: у = 0 и у = -3. -3 Очевидно, что наибольшим значением у из промежутка [-3; 0] является у = 0, а наименьшим – у = -3. -3
Задание № 1: С помощью графика найдите: а) наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-2; 4] Замечание: по графику не всегда можно точно определить координаты той или иной точки, это связано с тем, что размеры клеточек в тетради могут быть не идеально ровными, или мы можем немного криво провести прямую через две точки. А результатом такой погрешности могут быть неправильно найденные наибольшее и наименьшее значение функции. Поэтому: если мы находим координаты тех или иных точек по графику, обязательно после делаем проверку, подставив найденные координаты в уравнение функции! Проверка: подставим координаты хнаим. = -2 и унаим. = -3 в функцию у = 1/2 х – 2: -3 = 1/2 · (-2) – 2 -3 = -1 – 2 -3 = -3 – верно. Подставим координаты хнаиб. = 4 и унаиб. = 0 в функцию у = 1/2 х – 2: 0 = 1/2 · 4 – 2 0=2– 2 0 = 0 – верно. Ответ: унаиб = 0, унаим = -3
Задание № 1: С помощью графика найдите: б) значения переменной х, при которых у ≤ 0. На координатной плоскости все значения переменной у - меньшие нуля, расположены ниже оси Ох. Ох Таким образом, для того, чтобы решить неравенство у ≤ 0, нужно 0 рассмотреть часть графика, 2 расположенную ниже оси Ох и с 4 -∞ 0 помощью промежутка записать какие при этом значения принимает -1 переменная х. -2 1. Отметим часть графика, расположенную ниже оси Ох 2. Отметим точку пересечения графика с осью Ох, Ох это точка с координатой х = 4. Так как мы имеем не строгое неравенство «≤» , то точка должна быть закрашена! 3. Отмечаем часть оси Ох, соответствующую выделенной части графика, это и Ох будет искомая область. Записываем ответ: х принадлежит промежутку (-∞; 4] – скобка квадратная, так как в условии неравенство не строгое «≤» !
Задание № 2: Найдите координаты точки пересечения прямых у = 3 х и у = -2 х - 5 Данное задание можно решить двумя способами. 1 способ – графический: Построим графики данных линейных функций в одной координатной плоскости: 1. Зададим прямоугольную систему координат. 2. Заполним 0 х табличку для 0 у функции у = 3 х возьмем х1 = 0, получаем: у1 = 3 · 0 = 0 3 1 3 возьмем х2 = 1, получаем: у2 = 3 · 1 = 3 3. Построим на координатной плоскости точки (0; 0) и (1; 3) проведем через эти точки график – прямую линию. 0 1
Задание № 2: Найдите координаты точки пересечения прямых у = 3 х и у = -2 х - 5 4. Заполним 0 -1 х табличку для -5 -3 функции у = -2 х - 5 у возьмем х1 = 0, получаем: у1 = -2 · 0 – 5 = -5 возьмем х2 = -1, получаем: у2 = -2 · (-1) – 5 = 2 – 5 = -3 5. Построим на координатной плоскости точки (0; -5) и (-1; -3) 3 -1 0 1 -3 проведем через эти точки график -5 6. Находим абсциссу и ординату точки пересечения полученных графиков: х = -1 и у = -3. -3 Замечание: если мы решаем графическим способом, то, как только мы Замечание нашли абсциссу и ординату точки пересечения графиков, обязательно нужно сделать проверку, подставив найденные координаты в оба уравнения! Проверка: для у = 3 х: -3 = 3 · (-1) для у = -2 х – 5: -3 = -2 · (-1) – 5 -3 = -3 - верно Ответ: (-1; -3)
Задание № 2: Найдите координаты точки пересечения прямых у = 3 х и у = -2 х - 5 2 способ – аналитический: Пусть данные прямые пересекаются в точке А(х; у), координаты х и у которой мы должны найти. Рассмотрим функции у = 3 х и у = -2 х – 5 – как линейные уравнения с двумя переменными. Так как обе прямые проходят через точку А, то координаты этой точки: пара чисел (х; у) – является решением для обоих уравнений, то есть нам нужно подобрать такую пару чисел (х; у), чтобы при подстановке и в первое, и во второе уравнение, получилось верное равенство. А найдем мы эту пару чисел следующим образом: так как левые части уравнений равны у = у, то, соответственно, мы можем приравнять правые части этих уравнений: 3 х = -2 х – 5. Запись 3 х = -2 х – 5 – это линейное уравнение с одной переменной, решим его и найдем переменную х: Решение: 3 х = -2 х – 5 3 х + 2 х = -5 5 х = -5: 5 х = -1 Получили х = -1. Теперь осталось только подставить х = -1 в любое из уравнений и найти переменную у. Удобнее подставить в первое уравнение у = 3 х, получаем: у = 3 · (-1) = -3 Получили точку А с координатами (-1; -3). Ответ: (-1; -3)
Задание № 3: а) Найдите координаты точек пересечения графика линейного уравнения 3 х + 5 у + 15 = 0 с осями координат Графиком линейного уравнения, как вы уже знаете, является прямая линия, и она может пересекать координатные оси Ох и Оу в одной точке, если проходит через начало координат, и эта точка (0; 0); либо в двух точках: 1. (х; 0) – точка пересечения графика с осью Ох 2. (0; у) – точка пересечения графика с осью Оу. Найдем эти точки: 1. Подставим в уравнение значение у = 0, получим: 3 х + 5·0 + 15 = 0 – решим это уравнение и найдём х. 3 х + 15 = 0 3 х = -15 Получили точку с координатами: (-5; 0) – это точка пересечения х = -15: 3 графика с осью Ох х = -5 2. Подставим в уравнение значение х = 0, получим: 3·0 + 5 у + 15 = 0 – решим это уравнение и найдем у. 5 у + 15 = 0 5 у = -15 Получили точку с координатами: (0; -3) – это точка пересечения у = -15: 5 графика с осью Оу у = -3 Ответ: (-5; 0) и (0; -3)
Задание № 3: б) Определите, принадлежит ли графику уравнения 3 х + 5 у + 15 = 0 точка С(1/3; -3, 2) Если точка С(1/3; -3, 2) принадлежит графику данного уравнения, то она является для этого уравнения решением, то есть при подстановке в уравнение значений х = 1/3 и у = -3, 2 должно получиться верное равенство! В противном случае, если верного равенства не получается, эта точка не принадлежит графику данного уравнения. Подставим в уравнение х = 1/3 и у = -3, 2 и проверим: 3 · 1/3 + 5 · (-3, 2) + 15 = 0 1 – 16 + 15 = 0 – 15 + 15 = 0 0 = 0 – верное равенство. Следовательно, точка С принадлежит графику уравнения 3 х + 5 у + 15 = 0 Ответ: точка С(1/3; -3, 2) принадлежит графику уравнения 3 х + 5 у + 15 = 0
Задание № 4: а) Задайте линейную функцию у = kx формулой, если известно, что её график параллелен прямой 6 х – у – 5 = 0. б) Определите, возрастает или убывает заданная вами линейная функция. Теорема о взаимном расположении графиков линейных функций: Даны две линейные функции у = k 1 x + m 1 и y = k 2 x + m 2: Если k 1 = k 2 , при этом m 1 ≠ m 2 , то графики этих функций – параллельны. Если k 1 ≠ k 2 , и m 1 ≠ m 2 , то графики этих функций – пересекаются. Если k 1 = k 2 , и m 1 = m 2 , то графики этих функций – совпадают. а) По теореме о взаимном расположении графиков линейных функций: если прямые у = kx и 6 х – у – 5 = 0 – параллельны, то коэффициент k функции у = kx, kx равен коэффициенту k функции 6 х – у – 5 = 0. 0 Приведем уравнение 6 х – у – 5 = 0 к виду линейной функции и выпишем его коэффициенты: 6 х – у – 5 = 0 – перенесем -у вправо, получим: 6 х – 5 = у или у = 6 х – 5 , k = 6, m = – 5. 6 5 Следовательно, функция у = kx имеет вид: у = 6 х. 6 х б) Функция возрастает если k > 0 и убывает, если k 0! 0 Ответ: y = 6 x, функция возрастает. 6 x
Задание № 5: При каком значении p решением уравнения 2 px + 3 y + 5 p = 0 является пара чисел (1, 5; -4)? Так как пара чисел (1, 5; -4) является решением для данного уравнения, то подставим в уравнение 2 px + 3 y + 5 p = 0 значения х = 1, 5 и у = -4, получим: 2 p · 1, 5 + 3 · (-4) + 5 p = 0 – выполним умножение 3 p – 12 + 5 p = 0 – решим данное уравнение и найдем p 3 p + 5 p = 12 8 p = 12: 8 p = 1, 5 Следовательно, при p = 1, 5 решением уравнения 2 px + 3 y + 5 p = 0 является пара чисел (1, 5; -4) Проверка: при p = 1, 5 получаем уравнение: 2·1, 5 х + 3 у + 5·1, 5 = 0 3 х + 3 у + 7, 5 = 0 – подставим в данное уравнение х = 1, 5 и у = -4, получим: 3·1, 5 + 3 ·(-4) + 7, 5 = 0 4, 5 – 12 + 7, 5 = 0 0 = 0 – верно. Ответ: p = 1, 5
Тема: Линейная функция
Урок: Линейное уравнение с двумя переменными и его график
Мы познакомились с понятиями координатной оси и координатной плоскости. Мы знаем, что каждая точка плоскости однозначно задает пару чисел (х; у), причем первое число есть абсцисса точки, а второе - ордината.
Мы будем очень часто встречаться с линейным уравнением с двумя переменными, решением которого и есть пара чисел, которую можно представить на координатной плоскости.
Уравнение вида:
Где a, b, с - числа, причем 
Называется линейным уравнением с двумя переменными х и у. Решением такого уравнения будет любая такая пара чисел х и у, подставив которую в уравнение мы получим верное числовое равенство.
Пара чисел будет изображаться на координатной плоскости в виде точки.
У таких уравнений мы увидим много решений, то есть много пар чисел, и все соответствующие точки будут лежать на одной прямой.
Рассмотрим пример:
Чтобы найти решения данного уравнения нужно подобрать соответствующие пары чисел х и у:
Пусть , тогда исходное уравнение превращается в уравнение с одной неизвестной:
,
То есть, первая пара чисел, являющаяся решением заданного уравнения (0; 3). Получили точку А(0; 3)
Пусть . Получим исходное уравнение с одной переменной: 
, отсюда , получили точку В(3; 0)
Занесем пары чисел в таблицу:
Построим на графике точки и проведем прямую:
Отметим, что любая точка на данной прямой будет решением заданного уравнения. Проверим - возьмем точку с координатой и по графику найдем ее вторую координату. Очевидно, что в этой точке . Подставим данную пару чисел в уравнение. Получим 0=0 - верное числовое равенство, значит точка, лежащая на прямой, является решением.
Пока доказать, что любая точка, лежащая на построенной прямой является решением уравнения, мы не можем, поэтому принимаем это за правду и докажем позже.
Пример 2 - построить график уравнения:
Составим таблицу, нам достаточно для построения прямой двух точек, но возьмем третью для контроля:
В первой колонке мы взяли удобный , найдем у:
, ,
Во втором столбике мы взяли удобный , найдем х:
, , ,
Возьмем для проверки и найдем у:
, ,
Построим график:
Умножим заданное уравнение на два:
От такого преобразования множество решений не изменится и график останется таким же самым.
Вывод: мы научились решать уравнения с двумя переменными и строить их графики, узнали, что графиком подобного уравнения есть прямая и что любая точка этой прямой является решением уравнения
1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. М.: Просвещение. 2010 г.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ
3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 .М.: Просвещение. 2006 г.
2. Портал для семейного просмотра ().
Задание 1: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 960, ст.210;
Задание 2: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 961, ст.210;
Задание 3: Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7, № 962, ст.210;
