Пример 1. Два параллельных бесконечно длинных провода, по которым текут в одном направлении токи I = 60 А, расположены на расстоянии d = 10 см друг от друга В в точке, отстоящей от одного про-водника на расстоянии r 1 = 5 см и от другого — на расстоянии r 2 = 12 см.

Решение. Для нахождения магнитной индукции в указанной точ-ке А (рис.47) определим

Рис. 47 направле-ния векторов индукций В 1 и В 2 по лей, создаваемых каждым проводни-ком в отдельности, и сложим их геометрически, т. е. B = B 1 + B 2 . Модуль индукции найдем по теоре-ме косинусов:

Значения индукций Bi и В 2 выражаются соответственно через силу тока I и расстояния r 1 и r 2 от провода до точки, индукциюв которой мы вычисляем:

,

Подставляя B 1 и В 2 в формулу (1) и вынося за знак корня, получим


. (2)

Здесь мы воспользовались определяющей формулой для маг-нитной индукции (В = М mак /р п).

Вычисляем cosa . Заметим, что a = DAC. Поэтому по теореме косинусов запишем

где d — расстояние между проводами. Отсюда

.

Подставив данные, вычислим значение косинуса: cosa = 0,576.

Подставив в формулу (2) значения m 0 , I , r 1 , r 2 и cosb , найдем В = 286 мкТл .


Пример 2. По двум длинным прямолинейным проводам, находя-щимся на расстоянии r=5 см друг от друга в воздухе, текут токи I = 10 А каждый. Определить магнитную индукцию

В поля, создаваемого то-ками в точке, лежащей по-середине между проводами, для случаев:

1) провода параллельны, токи текут в одном направлении (рис. 48, а);

2) провода параллельны-,токи текут в про-тивоположных направле-ниях (рис. 48, б);

3) про-вода перпендикулярны, на-правление токов указано на рис. 48, в.

Решение: Результирующаяиндукция магнитного поля равнавекторной сумме: B = B 1 + B 2 , где B 1 — индукция поля,создаваемого током 1 1 ; В 2 — индукция поля создаваемого током I 2 .

Если B 1 и В 2 направлены по одной прямой, то векторная сумма может быть заменена алгебраической суммой:

В = В 1 + В 2 . (1)

При этом слагаемые В 1 и В 2 должны быть взяты с соответствую-щими знаками.В данной задаче во всех трех случаях модули индукций В 1 и В 2 одинаковы, так как точки выбраны на равных расстояниях от про-водов, по которым текут равные токи.

Вычислим эти индукции по формуле:

. (2)

Подставив значения величин в формулу (2), найдем модули В 1 и В 2:

В 1 = В 2 = 80 мкТл .

1-й случай. Векторы B 1 и В 2 направлены по одной прямой (рис. 48, а); следовательно, результирующая индукция В опреде-ляется по формуле (1). Приняв направление вверх положительным, вниз — отрицательным, запишем: В 1 = - 80 мкТл , В 2 = 80 мкТл .


Подставив в формулу (1) эти значения В 1 и B 2 , получим В = В 1 + В 2 = 0.

2-й случай. Векторы В 1 и В 2 направлены по одной прямой в одну сторону (рис. 48, б). Поэтому можем за-писать

В 1 = В 2 = - 80 мкТл .

Подставив в формулу (1) значения B 1 и В 2 получим

В = В 1 + В 2 = - 160 мкТл .

3-й случай. Векторы индукций магнит-ных полей, создаваемых токами в точке, лежащей посередине между проводами, взаимно перпендикулярны (рис. 48, в). Результирующая индукция по модулю и направлению является диагональю квадра-та, построенного на векторах В 1 и В 2 .

dB [dl,r ] ,

где dB — магнитная индукция поля, создаваемого элементом тока Idl в точке, определяемой радиус-вектором r .

Выделим на кольце элемент dl и от него в точку А проведем радиус-вектор г (рис. 52). Вектор dB направим в соответствии с правилом буравчика.

Согласно принципу суперпозиции магнитных полей, магнитная индукции В в точке А определяется интегралом

где интегрирование ведется по всем элементам dI кольца Разложим вектор dB на две составляющие: dB + - перпендикулярную плоскости кольца и dB — параллельную плоскости кольца, т. е.

dB = dB ^ + dB ½½ . Тогда

Заметив, что из соображений симметрии и что векторы dB от различных элементов dI сонаправлены, заменим векторное суммирование, заменим векторное суммирование (интегрирование) скалярным:

,

где (поскольку dI перпендикулярен r и, следовательно, sina = 1). Таким образом,


После сокращения на 2 π и замены cos β на R/r (рис. 52)

.

Выразим все величины в единицах СИ, произведем вычисления:

Вектор В направлен на осикольца (пунктирная стрелка на рис. 52) в соответствии с правилом буравчика.

Пример 6. Бесконечно длинный проводник изогнут так, как это изображено на рис. 53. Радиус дуги окружности R = 10 см . Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого в токе О током I = 80 A , текущим по этому проводнику.

Решение. Магнитную индукцию В в точке О найдем, используя принцип суперпозиции магнитных полей В = ∑В i . В на-шем случае проводник можно разбить на три части (рис. 54) два прямолинейных проводника (1 и 3 ), одним концом уходящие в бесконечность, и дугу полуокружности (2) радиуса R . Тогда

B = B 1 + B 2 + B 3

где B 1 , В 2 и В 3 — магнитные индукции поля в точке О, создавае-мые током, текущим соответственно на первом, втором и третьем участках проводника.

Рис. 53 Рис. 54

Так как точка О лежит на оси проводника 1 , то В 1 = 0и тогда

B = B 2 + B 3

Учитывая, что векторы В 2 и В 3 направлены в соответствии с пра-вилом буравчика перпендикулярно плоскости чертежа от нас, гео-метрическое суммирование можно заменить алгебраическим:

В = В 2 + В 3 .

Магнитную индукцию поля В 2 можно найти, используя выраже-ние для магнитной индукции в центре кругового проводника с то-ком I :

.

Так как магнитная индукция В 2 создается в точке О половиной такого кругового проводника с током, то, учитывая равный вклад в магнитную индукцию от каждой половинки проводника, можно написать

.

Магнитную индукцию В 3 найдем, используя формулу (3) при-мера 3:


В нашем случае

Используя найденные выражения для В 2 и В 3 получим


,

Произведем вычисления:

Пример 7. По двум параллельным прямым проводам длиной l = 2,5 м каждый, находящимся на расстоянии d = 20 см друг от дру-га, текут одинаковые токи I = 1 кА . Вычислить силу F взаимодей-ствия токов.

Решение . Взаимодействие двух проводников, по которым текут токи, осуществляется через магнитное поле. Каждый ток соз-дает магнитное поле, которое действует на другой проводник. Пред-положим, что оба тока (обозначим их 1 г и I 2) текут в одном направ-лении.

Вычислим силу F 1 , 2 , с которой магнитное поле, созданное током I 1 , действует на проводник с током I 2 . Для этого проведем магнит-ную силовую линию так (штриховая линия на рис. 55), чтобы она касалась проводника с током I 2 . По касательной к силовой линии проведем вектор магнитной индукции В 1 . Модуль магнитной индук-ции B 1 определяется соотношением

(1)

Согласно закону Ампера , на каждый элемент второго проводника с током I 2 длиной dl 2 действует в магнитном поле сила


Так как отрезок dl перпендикулярен вектору B 1 , то

(2)

Подставив в выражение (2) В 1 из (1), получим


Силу F 1,2 взаимодействия проводников с током найдем интегрированием по всей длине второго проводника;


Заметив, что I 1 = I 2 = I и l 2 = l, получим

.

Произведем вычисления:

Сила F 1 , 2 сонаправлена с силой dF 1 , 2 (рис. 55) и определяется (в данном случае это проще) правилом левой руки.

Пример 8. Провод в виде тонкого полукольца радиусом R = 10 см находится в однородном магнитном поле (B = 50 мТл). По проводу течет ток I = 10 А. Найти силу F, действующую на провод, если плоскость полукольца перпендикулярна линиям магнитной индукции, а подводя-щие провода находятся вне поля.

Решение . Распо-ложим провод в плоско-сти чертежа перпенди-кулярно линиям маг-нитной индукции (рис. 56) и выделим на нем малый элемент dl с то-ком.


На этот элемент тока Idl будет действо-вать по закону Ампера сила dF = I . Направление этой силы можно определить по правилу векторного произведения или по правилу левой руки.

Используя симметрию, выберем координатные оси так, как это изображено на рис. 11. Силу dF представим в виде

где i и j — единичные векторы (орты); dF x и dF y — проекции векто-ра dF на координатные оси Ох и Оу.

Силу F , действующую на весь провод, найдем интегрированием:

где символ L указывает на то, что интегрирование ведется по всей длине провода L .

Из соображений симметрии первый интеграл равен нулю

тогда

(1)

Из рис. 56 следует, что

где dF — модуль вектора dF

Так как вектор dl перпендикулярен вектору , то . Вы-разив длину дуги dl через радиус R и угол α, получим

Введем dF y под интеграл соотношения (1) и проинтегрируем в пре-делах от -π/2 до +π/2 (как это следует из рис. 56):


.

Из полученного выражения видно, что сила F сонаправлена с положительным направлением оси Оу (единичным вектором j ).

Найдем модуль силы F :

.

Произведем вычисления:

Пример 9. На проволочный виток радиусом г = 10 см, помещен-ный между полюсами магнита, действует максимальный механиче-ский момент М max = 6,5 мкН. Сила тока I в витке равна 2А. Опреде-лить магнитную индукцию В поля между полюсами магнита. Дей-ствием магнитного поля Земли пренебречь.

Решение . Индукцию В магнитного поля можно определить из выражения механического момента, действующего на виток с то-ком в магнитном поле,

(1)

Если учесть, что максимальное значение механический момент принимает при α = π/2 (sin α = l), а также что p m = I S, то формула (1) примет вид

.

Отсюда, учитывая, что S = π хr 2 , находим

. (2)

Произведя вычисления по формуле (2), найдем

В = 104 мкТл.

Пример 10. Квадратная рамка со стороной длиной а = 2 см, содер-жащая N = 100 витков тонкого провода, подвешена на упругой нити, постоянная кручения С которой равна 10 мкН м/град. Плоскость рамки совпадает с направлением линии индукции внешнего магнит-ного поля. Определить индукцию внешнего магнитного поля, если при пропускании по рамке тока I = 1А она повернулась на угол α = 60°.

Решение. Индукция В внешнего поля может быть найдена из условия равновесия рамки в поле. Рамка будет находиться в рав-новесии, если сумма механических моментов, действующих на нее, будет равна нулю:

.

В данном случае на рамку действуют два момента (рис. 57): M 1 — момент сил, с которым внешнее магнитное поле действует на рамку с током, и М 2 — момент упругих сил, возникающих при за-кручивании нити, на которой рамка подвешена.

Следовательно, формула (1) может быть переписана в виде

M 1 + M 2 = 0

Выразив М 1 и М 2 в этом равенстве через величины, от которых зависят мо-менты сил, получим

Знак минус перед моментом М 2 ста-вится потому, что этот момент противо-положен по направлению моменту M 1 .

Если учесть, что p m = ISN = I a 2 N , где I — сила тока в рамке; S = a 2 — площадь рамки; N — число ее витков, равенство (2) перепишем в виде

(3)

Из рис. 57 видно, что α = π/2 — φ, значит, sinα = cos φ. С учетом этого равенство (3) примет вид

(4)

Значение постоянной кручения С, рассчитанной на градус (а не радиан, как это следовало бы выразить в СИ), запишем в виде

так как значение угла φ также дано в градусах.

Подставим данные в формулу (4) и произведем вычисления:

Пример 11. Плоский квадратный контур со стороной длиной а = 10 см, по которому течет ток I = 100 А, свободно установился в од-нородном магнитном поле индукцией В = 1Тл. Определить работу A, совершаемую внешними силами при повороте контура относи-тельно оси, проходящей через середину его противоположных сто-рон, на угол: 1) φ 1 = 90°; 2) φ 2 = 3 0 . При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.

Решение. На контур с током в магнитном поле действует механический момент

.(1)

По условию задачи, в начальном положении контур свободно установился в магнитном поле. При этом момент сил равен нулю

(М = 0), а значит φ = 0, т. е. векторы р m и В совпадают по направле-нию.

Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил, определяемый формулой (1), будет стремить-ся возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться работа внешними силами. Так как момент сил переменный (зависит от угла φ поворота), то для подсчета работы применим формулу работы в дифференциальной форме

dA = M хdj (2)

Подставив сюда выражение М по формуле (1) и учтя, что р т = I S = I a 2 , где I — сила тока в контуре, S = a 2 — площадь контура, получим

Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте на конечный угол:

.(3)

1. Работа при повороте на угол φ 1 = 90 0


.(4)

После вычисления по формуле (4) найдем A 1 = Дж.

2. Работа при повороте на угол ф 2 = 3°. В этом случае, учитывая, что угол ф 2 мал, заменим в выражении (3) sin φ на φ:


(5)

Выразим угол φ 2 в радианах (см. табл. 9)

φ 2 = 3 0 = 3 l,75 10 -2 рад = 0,0525 рад.

После подстановки значений I , В , а и φ 2 в формулу (5) получим А 2 = 1,37 мДж.

Пример 12. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциа-лов U = 400 В, попал в однородное магнитное поле с индукцией B = 1,5 мТл. Определить: 1) радиус R кривизны траектории; 2) ча-стоту п вращения электрона вмагнитном поле. Вектор скорости электрона перпендикулярен линиям индукции.

Решение. 1. Радиус кривизны траектории электрона опре-делим, исходя из следующих соображений: на движущийся в маг-нитном поле электрон действует сила Лоренца F. (Действием силы тяжести можно пренебречь.) Вектор силы Лоренца перпендикуля-рен вектору скорости и, следовательно, по второму закону Ньютона , сообщает электрону нормальное ускорение а n: F = m?a n . Подставив сюда выражения F и а n , получим

, (1)

где е, u, т — заряд, скорость, масса электрона; В — индукция маг-нитного поля; R — радиус кривизны траектории; a — угол между направлениями векторов скорости υ и индукции В (в нашем случае υ ^B и a = 90°, sina = l).

Из формулы (1) найдем

(2)

Входящий в выражение (2) импульс mu выразим через кинетическую энергию Т электрона:

(3)

Но кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U , определяется равенством Т = |e | хU. Подставив это выражение Т в формулу (3), получим

Тогда выражение (2) для радиуса кривизны приобретает вид

(4)

После вычисления по формуле (4) найдем R = 45 мм.

2. Для определения частоты вращения воспользуемся формулой связывающей частоту со скоростью и радиусом кривизны траектории,

Подставив R из выражения (2) в эту формулу, получим

.

Произведя вычисления, найдем n = 4,20 × 10 7 c -1 .

Пример 13. Электрон, имея скорость u = 2 Мм/с, влетел воднородное магнитное поле с индукцией В = 30 мТл под углом a = 30° к направлению линий индукции. Определить радиус R и шаг h винтовой линии, покоторой будет двигаться электрон.

Решение. Известно, что на заряженную частицу, влетевшую в магнитное поле, действует сила Лоренца, перпендикулярная векторам магнитной индукции В и скорости υ частицы:

F = Q u B sina, (1)

где Q — заряд частицы.

В случае, если частицей является электрон, формулу (1) можно записать в виде

F = |e| u B sina.

Так как вектор силы Лоренца перпендикулярен вектору скоро-сти, то модуль скорости не будет изменяться под действием этой силы. Но при постоянной скорости, как это следует из формулы (1), останется постоянным и значение силы Лоренца. Из механики известно, что постоянная си-ла, перпендикулярная скоро-сти, вызывает Рис. 58 движение по окружности. Следовательно, электрон, влетевший в маг-нитное поле, будет двигаться по окружности в плоскости, перпендикулярной линиям индукции, со скоростью, рав-ной поперечной составляю-щей u 1 скорости (рис. 58); одновременно он будет дви-гаться и вдоль поля со ско-ростью u || :

u || = u sina, u || = u cosa.

В результате одновременного участия в движениях по окружно-сти и по прямой электрон будет двигаться по винтовой линии.

Радиус окружности, по которой движется электрон, найдем сле-дующим образом. Сила Лоренца F сообщает электрону нормальное ускорение а п. По второму закону Ньютона, F = m a n , где F = |e | uB и a n = u 2 /R ,. Тогда

,

откуда после сокращения на u z находим радиус винтовой линии:


.

Подставив значения величин т, u, e, В и a и произведя вычисле-ния, получим

R = 0,19 мм.

Шаг винтовой линии равен пути, пройденному электроном вдоль поля со скоростью u x за время, которое понадобится электрону для того, чтобы совершить один оборот,

h = u || T (2)

где T = 2p R/u ^ — период вращения электрона. Подставив это выра-жение для Т в формулу (2), найдем

Подставив в эту формулу значения величин p, R и a и вычислив, получим

h = 2,06 мм.

Пример 14. Электрон движется воднородном магнитном поле с индукцией В = 0,03 Тл поокружности радиусом r = 10 см. Опреде-лить скорость u электрона.

Решение. Движение электрона по окружности в однородном магнитном поле совершается под действием силы Лоренца (см. примеры 1 и 2). Поэтому можно написать

, (1)

откуда найдем импульс электрона:

р = т хu = |е | хВ хr. (2)

Релятивистский импульс выражается формулой

.

Выполнив преобразования, получим следующую формулу для определения скорости частицы:

. (3)

В данном случае р = е хB хr. Следовательно,


.

В числитель и знаменатель формулы (4) входит выражение е хВ хr/т хс. Вычислим его отдельно:

е В хr / (m c) = 1,76.

Подставив найденное значениев формулу (4), получим

b = 0,871, или u = с хb = 2,61 х 10 8 м/с.

Электрон, обладающий такой скоростью, является релятивистским.

Пример 15. Альфа-частица прошла ускоряющую разность потенциалов U = 104 В и влетела в скрещенные под прямым углом электрическое (E = 10 кВ/м) и магнитное (B = 0,1 Тл) поля. Найти отношение заряда альфа-частицы к ее массе, если, двигаясь перпендикулярно обоим полям, частица не испытывает отклонений от прямолинейной траектории.

Решение. Для того чтобы найти отношение заряда Q альфа-частицы к ее массе m, воспользуемся связью между работой сил электрического поля и изменением кинетической энергии частиц:

,

. (1)

Скорость u альфа-частицы найдем из следующих соображений. В скрещенных электрическом и магнитном полях на движущуюся заряженную частицу действуют две силы:

а) сила Лоренца , направленная перпендикулярно скорости v и вектору магнитной индукции В ;

б) кулоновская сила , сонаправленная с вектором напряженности Е электростатического поля (Q > 0).

Сделаем рисунок с изображением координатных осей и векторных

величин. Направим вектор магнитной индукции В вдоль оси О z (рис. 59), скорость υ — в положительном направлении оси Ох, тогда F л и F k будут направлены так, как это указано на ри-сунке.

Альфа-частица не будет испытывать отклонения, если геометри-ческая сумма сил F л + F k будет равна нулю. В проекции на ось


Оу получим следующее равенство (при этом учтено, что вектор ско-рости v перпендикулярен вектору магнитной индукции В и sin (υ Ù B ) = l):

Q хE — Q хu хB = O,

u = E/B.

Подставив это выражение скорости в формулу (1), получим

.

Произведем вычисления:


Пример 16. В одной плоскости с бесконечно длинным прямым проводом, по которому течет ток I = 50 А, расположена прямоуголь-ная рамка так, что две большие стороны ее длиной l = 65 см парал-лельны проводу, а расстояние от провода до ближайшей из этих сторон равно ее ширине. Каков магнитный поток Ф, пронизываю-щий рамку?

Решение. Магнитный поток Ф через поверхность площадью S определяется выражением

Рис. 60

В нашем случае вектор магнитной индукции В перпендикулярен плоскости рамки. Поэтому для всех точек рамки В n = В. Магнитная индукция В , создаваемая бесконечно длинным прямым проводником с током, определяется формулой

,

где x — расстояние от провода до точки, в которой определяется В.

Для вычисления магнитного потока заметим, что так как В зависит от х и элементарный поток Ф будет также за-висеть от х, то

dФ = B(x)dS.

Разобьем площадь рамки на узкие элементарные площадки длиной l , шири-ной dx и площадью dS = ldx (рис. 60). В пределах этой площадки магнитную индукцию можно считать постоянной, так как все части площад-ки равноудалены (на расстояние х) от провода. С учетом сделанных замечаний элементарный магнитный поток можно записать в виде

dФ =

Проинтегрировав полученное выражение в пределах от x 1 = a до х 2 = 2а, найдем


| p 2 p .

Подставив пределы, получим

Произведя вычисления по формуле (1), найдем

Ф = 4,5 мкВб.

Пример 17. Определить индукцию В и напряженность Н магнит-ного поля на оси тороида без сердечника, по обмотке которого, со-держащей N = 200 витков, идет ток I = 5 А. Внешний диаметр d 1 тороида равен 30 см, внутренний d 2 = 20 см.

Решение. Для определения напряженности магнитного поля внутри тороида вычислим циркуляцию вектора Н вдоль линии маг-нитной индукции поля:

Из условия симметрии следует, что линии магнитной индукции тороида представляют собой окружности и что во всех точках этой линии напряженности одинаковы. Поэтому в выражении циркуля-ции напряженность Н можно вынести за знак интеграла, а интегри-рование проводить в пределах от нуля до 2p r, где r — радиус ок-ружности, совпадающей с линией индукции, вдоль которой вычис-ляется циркуляция,


(1)

С другой стороны, в соответствии с законом полного тока цир-куляция вектора напряженности магнитного поля равна сумме то-ков, охватываемых контуром, вдоль которого вычисляется цирку-ляция:

(2)

Приравняв правые части равенств (1) и (2), получим

(3)

Линия, проходящая вдоль тороида, охватывает число токов, равное числу витков тороида. Сила тока во всех витках одинакова. Поэтому формула (3) примет вид 2p хr хH = N хI, откуда

(4)

Для средней линии тороида r = 1/2 (R 1 + R 2) = 1/4 (d 1 + d 2). Подставив это выражение r в формулу (4), найдем

(5)

Магнитная индукция В 0 в вакууме связана с напряженностью поля соотношением B 0 = m 0 H . Следовательно,

(6)

Подставив значения величин в выражения (5) и (6), получим:

H = 1,37 кА/м, B 0 = 1,6 мТл.

Пример 18. Виток, по которому течет ток I = 20 А, свободно уста-новится в однородном магнитном поле В = 16 мТл. Диаметр d витка равен 10 см. Какую работу нужно совершать, чтобы медленно по-вернуть виток на угол a = p/2 относительно оси, совпадающей с диа-метром?

Решение. При медленном повороте контура в магнитном поле индукционными токами можно пренебречь и считать ток в контуренеизменным. Работа сил поля в этом случае определяется выраже-нием

,

где Ф 1 и Ф 2 — магнитные потоки, пронизывающие контур в началь-ном и конечном положениях.

Работа внешних сил будет равна модулю работе сил поля и про-тивоположна ей по знаку, т. е.



(1)

Так как в начальном положении контур установился свободно (по-ложение устойчивого равновесия), то момент внешних сил, действующий на контур, равен нулю. В этом положении вектор

магнитного мо-мента p m контура сонаправлен с вектором В (рис. 61, а) и магнит-ный поток Ф 1 максима-лен (a = 0, cosa = 1), т. е. Ф 1 = В хS (где S — площадь контура).

В ко-нечном положении (рис. 61, б) вектор p m перпендикулярен вектору B (a = p/2, cosa = 0) и маг-нитный поток Ф 2 = 0. Перепишем выражение (1) с учетом сделан-ных замечаний:

.

Так как площадь контура S = p хd 2 / 4. то работа

.

Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу работы (Дж):

Произведем вычисления:

Пример 19. В однородном магнитном поле с индукцией B = 0,1 Тл равномерно вращается рамка, содержащая N = 1000 витков, с часто-той n = 1c -1 . Площадь S рамки равна 150 см 2 . Определить мгновен-ное значение ЭДС, соответствующее углу поворота рамки 30°.

Решение. Мгновенное значение ЭДС индукции, определя-ется основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея — Максвелла:

. (1)

Потокосцепление Y = N хФ , где N — число витков, пронизывае-мых магнитным потоком Ф. Подставив выражение Y в формулу (1),получим

. (2)

При вращении рамки магнитный поток Ф, пронизывающий рам-ку в момент времени t, изменяется по закону Ф = В хS хcoswt, где В — магнитная индукция; S — площадь рамки; w — угловая частота. Подставив в формулу (2) выражение Ф и продифференцировав по времени, найдем мгновенное значение ЭДС индукции:

Угловая частота со связана с частотой п вращения соотношением w = 2p хп. Подставив выражение со в формулу (3) и заменив wt на угол a, получим

Произведя вычисления по формуле (4), найдем


Пример. 20. По соленоиду течет ток I = 2 А. Магнитный поток Ф, пронизывающий поперечное сечение соленоида, равен 4 мкВб. Оп-ределить индуктивность L соленоида, если он имеет N = 800 витков.

Решение. Индуктивность L соленоида связана с потокосцеплением Y соотношением Y = L хI , откуда L = Y/I. Заменив здесь потокосцепление Y его выражением через магнитный поток Ф и число витков N соленоида (Y = Ф хN ), получим


(1)

Произведя вычисления по формуле (1), получим

L = 1,6 мГн.

Пример 21. При скорости изменения силы тока DI /Dt в соле-ноиде, равной 50 А/с, на его концах возникает ЭДС самоиндук-ции 0,08 В. Определить индуктивность L соленоида.

Решение. Индуктивность соленоида связана с ЭДС само-индукции и скоростью изменения силы тока в его обмотке соотноше-нием


.

Вынося постоянную величину L за знак приращения, получим

.

Опустив знак минус в этом равенстве (направление ЭДС в данном случае несущественно) и выразив интересующую нас величину — индуктивность, получим

.

Сделав вычисления по этой формуле, найдем

L = 1,6 мГн.

Пример 22. Обмотка соленоида состоит из одного слоя плотно прилегающих друг к другу витков медного провода диаметром d = 0,2 мм. Диаметр D соленоида равен 5 см. По соленоиду течет ток I = 1 А. Определить количество электричества Q, протекающее через обмотку, если концы ее замкнуть накоротко. Толщиной изо-ляции пренебречь.

Решение. Возможны два способа решения, 1-й способ. Ко-личество электричества dQ , которое протекает по проводнику за время dt при силе тока I , определяется равенством

. (1)

Полное количество электричества, протекающее через проводник за время t , будет .

Сила тока в данном случае убывает экспоненциально со временем и выражается формулой

.

Внося выражение силы тока I под знак интеграла и интегрируя от 0 до ¥ (при t®¥I®0), получим

Подставим пределы интегрирования и определим количество электричества, протекающее через обмотку:


. (2)

2-й способ. Подставив в формулу (1) вместо силы тока I выраже-ние ее через ЭДС индукции , и сопротивление R соленоида, т. е.

, найдем .

Но связана со скоростью изменения потокосцепления Y по закону Фарадея — Максвелла , тогда

.

Интегрируя, получаем

. (3)

Потокосцепление Y пропорционально силе тока в соленоиде. Следовательно, Y 1 = LI 0 ; Y 2 = 0, так как Y 2 соответствует тому мо-менту, когда ток в цепи обратится в нуль. Подставив выражения Y 1 и Y 2 в формулу (3), получим Q = Y 1 /R , или

,

что совпадает с формулой (2). Для определения заряда, протекающего через обмотку соленои-да, следует найти индуктивность L соленоида и сопротивление R обмотки соленоида, которые выражаются формулами


, ,

где m 0 — магнитная постоянная; N — число витков; l 1 — длина соленоида; S 1 — площадь сечения соленоида; r — удельное сопро-тивление провода; l — длина провода; S — площадь сечения про-вода; d — диаметр провода; d 1 — диаметр соленоида.

Подставив найденные выражения L и R в формулу (2), получим


.

Заметим, что длина провода l может быть выражена через диа-метр d 1 соленоида соотношением l = p хd 1 N, где N — число витков, тогда формуле (4) можно придать вид

Но l 1 /N есть диаметр провода, так как витки плотно прилегают друг к другу. Следовательно,


.

Произведя вычисления по формуле (5), получим

Q = 363 мкКл.

Пример 23. На стержень из немагнитного материала длиной l = 50 см намотан в один слой провод так, что на каждый сантиметр длины стержня приходится 20 витков. Определить энергию W маг-нитного поля внутри соленоида, если сила тока I в обмотке равна 0,5 А. Площадь S сечения стержня равна 2 см 2 .

Решение. Энергия магнитного поля соленоида с индуктив-ностью L, по обмотке которого течет ток I , выражается формулой

. (1)

Индуктивность соленоида в случае немагнитного сердечника за-висит только от числа витков на единицу длины и от объема V сер-дечника: L = μ 0 n 2 V, где μ 0 — магнитная постоянная. Подставив вы-ражение индуктивности L в формулу (1), получим . Учтя, что V = l хS, запишем

. (2)

Сделав вычисления по формуле (2), найдем

W = 126 мкДж.

Пример 24. По обмотке длинного соленоида со стальным сердеч-ником течет ток I = 2А. Определить объемную плотность ω энергии магнитного поля в сердечнике, если число п витков на каждом сан-тиметре длины соленоида равно 7 см -1 .

Решение. Объемная плотность энергии магнитного поля оп-ределяется по формуле

. (1)

Напряженность Н магнитного поля найдем по формуле H = n хl. Подставив сюда значения п (п = 7 см -1 = 700 м -1) и I , найдем

H = 1400 А/м.

Магнитную индукцию В определим по графику (рис. 18) зависимости В от Н. Находим, что напряженности H = 1400 А/м со-ответствует магнитная индукция B = 1,2 Тл.

Произведя вычисление по формуле (1), найдем объемную плот-ность энергии:

ω = 840 Дж/м 3 .

Пример 25. Колебательный контур, состоящий из воздушного кон-денсатора с двумя пластинами площадью S = 100 см 2 каждая и катушки с индуктивностью L = l мкГн, резонирует на волну длиной λ = 10 м. Определить расстояние d между пластинами конденсатора.

Решение. Расстояние между пластинами конденсатора мож-но найти из формулы электроемкости плоского конденсатора

,

где ε — диэлектрическая проницаемость среды, заполняю-щей конденсатор, откуда

. (1)

Из формулы Томсона, определяющей период колебаний в элек-трическом контуре: , находим электроемкость

. (2)

Неизвестный в условии задачи период колебаний можно опреде-лить, зная длину волны λ, на которую резонирует контур. Из соот-ношения λ = с хТ имеем

Подставив выражения периода Т в формулу (2), а затем электро-емкости С в формулу (1), получим

.

Произведя вычисления, найдем d =3,14 мм.

Пример 26. Колебательный контур состоит из катушки с индук-тивностью L = 1,2 мГн и конденсатора переменной электроемкости от C 1 = 12 пФ до С 2 = 80 пФ. Определить диапазон длин электромаг-нитных волн, которые могут вызывать резонанс в этом контуре. Активное сопротивление контура принять равным нулю.

Решение. Длина λ электромагнитной волны, которая может вызвать резонанс в колебательном контуре, связана с периодом Т колебаний контура соотношением

λ =с?Т. (1)

Период колебаний, в свою очередь, связан с индуктивностью L катушки и электроемкостью С конденсатора колебательного конту-ра соотношением (формула Томсона) . Следовательно,

. (2)

Согласно условию задачи, индуктивность контура неизменна, а электроемкость контура может изменяться в пределах от C 1 до C 2 . Этим значениям электроемкости соответствуют длины волн λ 1 и λ 2 , определяющие диапазон длин волн, которые могут вызвать резо-нанс. После вычислений по формуле (2) получим:

λ 1 = 226 м; λ 2 = 585 м.

Задачи

241. Бесконечно длинный провод с током I = 100 А изогнут так, как показано на рис. 62. Определить магнитную индукцию В в точке О. Радиус дуги R = 10 см.

242. Магнитный момент p m тонкого проводящего кольца p m = 5A?м 2 . Определить магнитную индукцию В в точке А , находящиеся на оси кольца и удаленной от точек кольца на расстояние r = 20 см (рис. 63).

243. По двум скрещенным под прямым углом бесконечно длинным проводам текут токи I и 2I (I = 100A ). Определить магнитную индукцию В в точке А (рис. 64). Расстояние d = 10см .

244. По бесконечно длинному проводу, изогнутому так, как это показано на рисунке 65, течет ток I = 200 A . Определить магнитную индукцию В в точке О . Радиус дуги R = 10 см .

245. По тонкому кольцу радиусом R = 20см течет ток I = 100A . Определить магнитную

Пример 1. По двум длинным прямолинейным параллельным проводникам, расстояние между которыми d = 8 см, в одном направлении текут токи I 1 = 3 А, I 2 = 5 А. Найти магнитную индукцию поля в точке А, которая находится на линии, соединяющей проводники, на расстоянии r 1 = 2 см от первого проводника.

Дано:I 1 = 3 А; I 2 = 5 А; d = 8 см = 8∙10 -2 м; r 1 = 2 см = 2∙10 -2 м. Найти: В А. а) б)
Рис. 1

Решение: На рис. 1а токи I 1 и I 2 текут по параллельным проводникам в одном направлении перпендикулярно плоскости чертежа, от нас. Каждый из токов создаёт магнитное поле, силовые линии которого – окружности. Их направление связано с направлением тока в проводнике правилом буравчика (рис. 1б).

Согласно принципу суперпозиции результирующая индукция магнитного поля в точке А равна векторной сумме индукций и полей, создаваемых каждым током в отдельности,

С учётом направления векторов и в точке А сумма их проекций на ось Оу

B А = B 1 - B 2 .(2)

Значения индукций В 1 и В 2 в данной точкевыражаются соответственно формулами:

где m 0 = 4π ∙10 -7 Гн/м – магнитная постоянная; m = 1 – магнитная проницаемость вакуума и воздуха.

Подставив выражения (3) и (4) для В 1 и В 2 в равенство (2), получим

Вычислим искомую индукцию:

Ответ: В А = 13,4 мкТл.

Пример 2. Определить индукцию В магнитного поля и магнитный момент P m в центре кругового проводящего витка при разности потенциалов на его концах U = 10 В, если сопротивление проволоки витка
R = 0,5 Ом, его диаметр d = 20 см.

Дано:R = 0,5 Ом; U = 10 В; d = 20 см = 0,2 м. Найти: B, P m .
Рис. 2

Решение: На рис. 2 показаны направления векторов в центре кругового витка с током, найденных по правилу буравчика.

Индукция магнитного поля в центре витка определяется по формуле

где I – сила тока; m 0 m = 1 – магнитная проницаемость вакуума и воздуха; r – радиус витка.

По закону Ома для участка цепи сила тока в витке

Подставляя (2) в (1), получим расчётную формулу для В:

Вычислим индукцию в центре витка с током по формуле (3) .

Магнитный момент P m витка с током I находим по формуле

P m = I∙S, (4)

где – площадь витка.

Следовательно,

Вычислим магнитный момент:

.

Ответ: B = 125,6 мкТл; P m = 0,63 А∙м 2 .

Пример 3. Квадратная проволочная рамка расположена в одной плоскости с длинным прямым проводником так, что две её стороны параллельны проводнику. По проводнику и рамке текут одинаковые токи
I = I р = 1 кА. Определить силу, действующую на рамку, если ближайшая к проводнику сторона рамки находится на расстоянии, равном её длине. Деформацией рамки пренебречь.


Дано:I = I р = 1 кА = 10 3 А; r 1 = a ; r 2 = 2a. Найти: F. Рис. 3

Решение : Длинный прямой проводник с током I создаёт магнитное поле, индукция B которого определим по формуле

где m o – магнитная постоянная; r – расстояние от прямого проводника.

Согласно формуле (1) поле прямого проводника является неоднородным и ослабевает при удалении от проводника. Графически поле такого проводника изображается силовыми линиями в виде окружностей, направление которых определяется по правилу правого винта (в данном случае – по часовой стрелке) . Вектор магнитной индукции в каждой точке к силовой линии направлен по касательной. Следовательно, справа от прямого проводника векторы магнитной индукции направлены перпендикулярно плоскости чертежа, к нам (рис. 3).

На каждый элемент длины рамки АВСD, расположенной в магнитном поле проводника с током I , действует сила Ампера

dF A = I р ∙B∙ dl sina, (2)

где a – угол между направлениями и (для всех элементов рамки a = 90 o).

Направление сил Ампера, действующих на стороны АВ, ВС, CD, AD, определяются по правилу левой руки (рис. 3).

Сила F 1 , действующая на сторону АD, на основании формул (1) и (2) определяется следующим образом:

. (3)

Аналогично получается формула для силы F 2 , действующей на сторону ВС, удалённую от прямого проводника на расстояние r 2 :

Силы и , действующие на стороны АВ и СD рамки, направлены в противоположные стороны, равны по величине и скомпенсированы, так как стороны АВ и СD расположены одинаково относительно прямого проводника.

Равнодействующая всех сил, приложенных к рамке,

.(5)

Значение силы .

Ответ: F = 0,1 Н.

Пример 4. В масс-спектрометре пучок ионов проходит ускоряющую разность потенциалов U = 10 кВ и попадает в однородное поперечное магнитное поле с индукцией В = 100 мТл. Направление вектора скорости после прохождения магнитного поля по дуге окружности меняется на противоположное. Найти расстояние между входной щелью приёмника и выходной щелью ускоряющей камеры. Отношение заряда иона q к его массе m (удельный заряд) считать известным и равным
q/m =3,2∙10 7 Кл/кг. Действием силы тяжести пренебречь, считать начальную скорость ионов u o = 0.

Решение: При прохождении ускоряющей разности потенциалов U работа сил электростатического поля приводит к изменению кинетической энергии ионов:

. (1)

С учётом того, что скорость, с которой ионы влетают в магнитное поле, u 0 = 0:

Со стороны магнитного поля на движущиеся ионы действует сила Лоренца

где a = 90 о – угол между векторами и .

Направление силы Лоренца определяется по правилу левой руки (рис. 4). Так как вектор силы перпендикулярен вектору скорости , то модуль скорости не изменяется. Сила Лоренца сообщает ионам центростремительное ускорение:

где R – радиус кривизны траектории.

Используя формулу (2), получим

. (6)

По условию задачи направление вектора скорости при попадании на фотопластинку приёмника противоположно направлению скорости при входе в магнитное поле. Поэтому искомое расстояние d = 2R .

Формула для d имеет вид: . (7)

Отсюда .

Ответ: d = 50 см.

Пример 5. На квадратную рамку со стороной а = 10 см, помещенный между полюсами постоянного магнита, действует максимальный механический момент М max = 6,5 мкНм, если в рамке сила тока I = 2 А. Определить магнитную индукцию В между полюсами магнита. Действием магнитного поля Земли пренебречь.

Дано:а = 10 см = 0,1 м; М max = 6,5 мкНм = 6,5∙10 -6 Нм; I = 2 А. Найти: В. Рис. 5

Решение: На рис. 5 изображена рамка с током (ток направлен по часовой стрелке) в магнитном поле магнита. На стороны fb и cd действуют силы Ампера и , равные по величине, противоположные по направлению и создающие вращающий момент М относительно
оси ОО¢:

M = P m B sina , (1)

где P m – магнитный момент рамки с током; a – угол между векторами и .

Вектор в центре рамки направлен перпендикулярно чертежу (по правилу буравчика), от нас, и его модуль

где S = а 2 – площадь рамки.

Вращающий момент принимает максимальное значение при a = 90 o

M max = P m ∙B = = I a 2 B. (3)

Магнитная индукция поля магнита .

Ответ: В = 32,5 мкТл.

Пример 6. Катушка длиной l = 50 см и площадью сечения S = 30 см 2 имеет 12 витков на 1 см длины. Индукция магнитного поля в катушке
В = 8 мТл. Определить: силу тока I ; индуктивность L ; энергию магнитного поля W катушки.

Решение: На рис. 6 показано направление тока в катушке, а также направление силовых линий созданного током магнитного поля. Для длинного соленоида, каковым является предлагаемая катушка с током, индукция магнитного поля

В = m o m n I , (1)

где m o = 4π∙10 -7 Гн/м – магнитная постоянная; m – магнитная проницаемость среды (сердечника), для воздуха m = 1; n – плотность витков.

Из формулы (1) имеем

Определим значение силы тока в катушке:

.

Индуктивность соленоида находим по формуле

. (3)

Отсюда L = 4∙3,14∙10 -7 ∙1,2 2 ∙10 6 ∙3∙10 -3 ∙0,5 Гн = 2,7 мГн.

Энергия магнитного поля катушки:

Величина энергии .

Ответ: I = 5,3 А; L = 2,7 мГн; W = 38 мДж.

Пример 7. В однородном магнитном поле, индукция которого
В о = 250 мТл, находится плоская катушка радиусом R = 25 см, содержащая N = 75 витков. Плоскость катушки составляет угол g = 60 0 с направлением вектора индукции. По виткам течёт ток силой I = 3 А. Определить магнитный поток Ф о и потокосцепление y о в катушке. Какую работу надо совершить, чтобы удалить катушку из магнитного поля?

Решение: В случае однородного магнитного поля магнитный поток через плоский контур площадью S определяется по формуле

Ф о = В о S cosa , (1)

где a – угол между вектором нормали к плоскости контура и вектором , S = πR 2 – площадь одного витка.

Согласно рис. 7

Учитывая (2), формула (1) примет вид

. (3)

Потокосцепление, т.е. полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками катушки,

y о = N Ф о. (4)

Следовательно, y о = 75∙0,042 = 3,15 Вб.

Работа магнитного поля по перемещению катушки определяется формулой

А = I (y – y о ). (5)

Чтобы удалить катушку из поля, к ней надо приложить внешнюю, например, механическую силу, работа которой

А внеш = – А = I (y о – y ), (6)

где y = 0, так как В = 0.

Подставляя y о и y в формулу (6), получим А внеш = 9,45 Дж.

Ответ: Ф о = 42 мВб; y о = 3,15 Вб; А внеш = 9,45 Дж.

Пример 8. В однородном магнитном поле индукцией В = 100 мТл равномерно вращается с частотой n = 10 с -1 рамка, содержащая
N = 1000 витков. Площадь рамки S = 150 см 2 . Определить амплитудное значение эдс ε max и мгновенное значение эдс ε , соответствующее углу поворота рамки a = 30 0 .

Решение: При вращении рамки площадью S в магнитном поле индукцией В поток Ф изменяетсяпо закону

Ф = В S coswt , (1)

где – угловая скорость.

Мгновенное значение эдс индукции ε определяется основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея–Максвелла

где y = N Ф – потокосцепление.

Следовательно,

Подставив (1) в (3), получим выражение для мгновенного значения эдс, наведённой в рамке,

Амплитудное значение эдс e max найдём из выражения (4):

ε max∙ = 2 πnNBS. (5)

Отсюда ε max∙ = 2∙3,14∙1000∙0,1∙15∙10 -3 ∙10 В = 94,2 В.

Мгновенное значение эдс индукции при a = 30 o

.

Ответ: ε = 47,1 В; ε max∙ = 94,2 В.

Пример 9. Квадратная проволочная рамка со стороной а = 5 см и сопротивлением R = 10 мОм находится в однородном магнитном поле
индукцией В = 40 мТл. Нормаль к плоскости рамки составляет угол
a = 30 o с линиями магнитной индукции. Определить заряд q , который пройдёт по рамке, если магнитное поле выключить.

Решение: В начальный момент временизначение магнитного потока через рамку

Ф 1 = В×S cos a= B×a 2 cosa . (1)

При выключении магнитного поля произойдёт изменение магнитного потока от значения Ф 1 до значения Ф 2 = 0. Вследствие этого в рамке возбуждается эдс, определяемая основным законом электромагнитной индукции:

Ответ: q = 8,66 мКл.

Решенные задачи из учебника ФИЗИКА. Методические указания и контрольные задания. Под редакцией А. Г. Чертова

Ниже приведены условия задач и отсканированные листы с решениями. Загрузка страницы может занять некоторое время.

401. Бесконечно длинный провод с током I=100 А изогнут так, как это показано на рис. Определить магнитную индукцию B в точке О. Радиус дуги R=10 см.
411. По двум параллельным проводам длиной S=3м каждый текут одинаковые токи I=500 А. Расстояние L между проводами равно 10см. Определить силу F взаимодействия проводов.
421. По тонкому кольцу радиусом R=10см равномерно распределен заряд с линейной плотностью τ=50нКл/м. Кольцо вращается относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр, с частотой ν=10с-1. Определить магнитный момент Pm, обусловленный вращением кольца.
431. Два иона разных масс с одинаковыми зарядами влетели в однородное магнитное поле, стали двигаться по окружностям радиусами R1 = 3см и R2= 1,73 см. Определить отношение масс ионов, если они прошли одинаковую ускоряющую разность потенциалов.
441. Протон влетел в скрещенные под углом φ= 120° магнитное (В = 50мТл) и электрическое (E = 20кВ/м) поля. Определить ускорение а протона, если его скорость V (|V| = 4×105 м/с) перпендикулярна векторам Е и В.
451. Плоский контур площадью S = 20 см2 находится в однородном магнитном поле (В=0.03Тл). Определить магнитный поток Ф, пронизывающий контур, если плоскость его составляет угол φ=60° с направлением линий индукций.
461. В однородном магнитном поле (В = 0,1 Тл) равномерно с частотой n = 5с-1 вращается стержень длиной L = 50 см так, что плоскость его вращения перпендикулярна линиям напряженности, а ось вращения проходит через один из его концов. Определить индуцируемую на концах стержня разность потенциалов U.
471. Соленоид сечением S = 10 см2 содержит N =103 витков. Индукция B магнитного поля внутри соленоида при силе тока I = 5 А равна 0,05 Т. Определить индуктивность L соленоида.