Будем заряжать плоский конденсатор, перенося малые порции заряда dq с одной обкладки на другую (рис. 4.12.) Для того чтобы перенести заряд dq между обкладками с разностью потенциалов (j 1 – j 2) необходимо совершить работу
dA = (j 1 – j 2) dq (4.11)
Учитывая, что , эту работу можно записать ещё и так
Для того чтобы первоначально незаряженному конденсатору сообщить заряд Q , необходимо совершить работу
Эта работа равна энергии заряженного конденсатора
(4.12)
Здесь - напряжение на конденсаторе, равное разности потенциалов на его обкладках.
Продолжим преобразования уравнения (4.12).
Вспомним, что ёмкость плоского конденсатора
а напряжение связано с напряжённостью электрического поля
U = E ∙ d
Воспользовавшись этими соотношениями, запишем энергию заряженного конденсатора в таком виде
Эти два выражения энергии конденсатора
приводят к следующему принципиальному вопросу: где в конденсаторе располагается энергия? Где она «локализована»?
Если она связана с электрическими зарядами, то она находиться на обкладках конденсатора. Если же это энергия электрического поля, то она занимает пространство между обкладками, объем которого равен объему конденсатора V = S ∙ d .
Для ответа на этот вопрос нужно было бы заряд с обкладок убрать, а поле при этом оставить. Тогда можно было бы посмотреть: осталась энергия - значит, она связана с полем, исчезла - значит, она располагалась вместе с зарядом на обкладках.
Но проблема-то в том, что при удалении зарядов исчезает, конечно, и их электростатическое поле. Поэтому вопрос о локализации энергии в рамках электростатики не может быть решён.
В электродинамике переменные электрические и магнитные поля, как известно, могут существовать и без электрических зарядов. Причем такие поля обладают энергией, что является прямым экспериментальным доказательством того, что эта энергия связана с электрическими полями и локализована в объёме, занятом полем. Теперь становиться понятнее последнее выражение энергии заряженного конденсатора:
Энергия конденсатора связана с его электрическим полем и поэтому пропорциональна объёму конденсатора (V ), то есть объёму поля.
Отношение представляет собой среднее значение энергии, приходящейся на единичный объём поля .
Эта характеристика энергетической насыщённости поля получила название «объёмная плотность энергии».
Обычно эта характеристика носит точечный, локальный характер. Вокруг заданной точки выбирают элементарный объём dV и вычисляют энергетическую плотность, деля энергию этой области dW на её объём
Объёмная плотность энергии в заданной точке электрического поля пропорциональна квадрату напряжённости поля в этой точке. Измеряется объёмная плотность энергии, конечно, в Дж/м 3:
Зная, как меняется плотность энергии в пространстве, можно вычислить энергию, сосредоточенную в объёме V , электрического поля:
Проводящий шар радиусом R несет заряд Q . Какова энергия электрического поля этого шара?
Поле внутри заряженного шара отсутствует, а вне шара оно совпадает с полем точечного заряда:
, r ³ R
Объёмная плотность энергии такого поля
Вычислим энергию, сосредоточенную в сферическом слое толщиной dr (рис. 4.13.)
Пусть два заряда q 1 и q 2 находятся на расстоянии r друг от друга. Каждый из зарядов, находясь в поле другого заряда, обладает потенциальной энергией П. Используя П=qφ, определим
П 1 =W 1 =q 1 φ 12 П 2 =W 2 =q 2 φ 21
(φ 12 и φ 21 – соответственно потенциалы поля заряда q 2 в точке нахождения заряда q 1 и заряда q 1 в точке нахождения заряда q 2).
Согласно определению потенциала точечного заряда
Следовательно.
или
Таким образом,
Энергия электростатического поля системы точечных зарядов равна
(12.59)
(φ і - потенциал поля, создаваемого n -1 зарядами (за исключением q i) в точке, в которой находится заряд q i).
Энергия уединённого заряженного проводника
Уединённый незаряженный проводник можно зарядить до потенциала φ, многократно перенося порции заряда dq из бесконечности на проводник. Элементарная работа, которая совершается против сил поля, в этом случае равна
Перенос заряда dq из бесконечности на проводник изменяет его потенциал на
(С – электроёмкость проводника).
Следовательно,
т.е. при переносе заряда dq из бесконечности на проводник увеличиваем потенциальную энергию поля на
dП = dW =δA= Cφdφ
Проинтегрировав данное выражение, находим потенциальную энергию электростатического поля заряженного проводника при увеличении его потенциала от 0 до φ:
(12.60)
Применяя
соотношение
, получаем следующие выражения для
потенциальной энергии:
(12.61)
(q - заряд проводника).
Энергия заряженного конденсатора
Если имеется система двух заряженных проводников (конденсатор), то полная энергия системы равна сумме собственных потенциальных энергий проводников и энергии их взаимодействия:
(12.62)
(q - заряд конденсатора, С – его электроёмкость.
С
учётом того, что Δφ=φ 1
–φ 2
= U
- разность потенциалов (напряжение)
между обкладками), получим формулу
(12.63)
Формулы справедливы при любой форме обкладок конденсатора.
Физическая величину, численно равную отношению потенциальной энергии поля, заключённой в элементе объёма, к этому объёму, называют объёмной плотностью энергии.
Для однородного поля объёмная плотность энергии
(12.64)
Для плоского конденсатора, объём которого V=Sd , где S - площадь пластины, d - расстояние между пластинами,
Но
,
тогда
(12.65)
(12.66)
(Е – напряжённость электростатического поля в среде с диэлектрической проницаемостью ε, D = ε ε 0 E - электрическое смещение поля).
Следовательно, объёмная плотность энергии однородного электростатического поля определяется напряжённостью Е или смещением D.
Следует
отметить, что выражение
исправедливы только для изотропного
диэлектрика, для которого выполняется
соотношениеp=
ε 0 χE.
Выражение
соответствует
теории поля – теории близкодействия,
согласно которой носителем энергии
является поле.
Теперь предположим, что имеется непрерывное распределение зарядов, задаваемое объемной плотностью ρ(r→). Тогда в элементарном объеме dV содержится заряд
dq = ρ(r→)dV,
а формула (39′) приобретает такой вид W = 1 2 ∫ ρ(r→)ϕ(r→)dV. (16.1)
Некоторое замечание надо сделать для обоснования перехода (39′)→(42). При переходе к объемному распределению под интегралом, вообще говоря, следовало писать
ρ(r→)ϕ′(r→),
понимая под ϕ′(r→) потенциал всех зарядов, за исключением элементарного заряда ρdV . Мысленно представим заряд ρdV в виде равномерно заряженного шарика малого радиуса δ с центром в точке r→ и с плотностью заряда ρ(r→). Легко вычислить, что потенциал этого заряда в центре шарика = 3 2 q δ = 3 2 1 δ ⋅4 3πδ3ρ = 2πδ2 ⋅ ρ(r→), и следовательно,
ϕ′(r→) = ϕ(r→) − 2πρ(r→)δ2.
Отсюда видно, что при δ → 0 ϕ′→ ϕ(r→) и замена ϕ′(r→) на ϕ(r→), таким образом, действительно допустима.
Теперь осуществим некоторое тождественное преобразование выражения (42), заменив в последнем ρ, согласно уравнению Пуассона (13), на −1 4πΔϕ и используя формулу векторного анализа
div(ϕgradϕ) = ϕΔϕ + gradϕ)2;
в результате получим
W = − 1 8π ∫ div(ϕgradϕ)−gradϕ)2]dV = 1 8π ∮ SϕEndS+ 1 8π ∫ V E2dV,
где S - поверхность, ограничивающая объем V . Если заряды занимают ограниченный объем в пространстве, а в качестве поверхности S принять поверхность сколь угодно большого радиуса R, то при R →∞ интеграл по поверхности
так как на больших расстояниях ϕ и En совпадают по крайней мере не медленнее, чем 1 R и 1 R2 (если, повторим, заряды занимают конечный объем пространства), а поверхность растет как R2.
Итак, в результате тождественного преобразования выражения (42) получим формулу W = ∫ E2 8πdV (16.2)
в виде интеграла по всему пространству, занятому полем, которая по сравнению с исходной формулой (39) имеет не только новый вид, но, по существу, и новый смысл, определяя плотность энергии электрического поля в пространстве W = E2 8π. (16.3)
В то время как (39) описывает только энергию взаимодействия разных зарядов (i≠j), формула (42) и следующая из нее формула (43) включают также и собственную энергию каждого из этих зарядов. В терминах поля можно сказать, что формулы (42), (43) описывают полную энергию электрического поля, тогда как (39) - только часть этой энергии.
Представление об энергии электрического поля, распределенном в пространстве с объемной плотностью (44) здесь получено на основе строгих рассуждений. А теперь получим выражение (44) из рассмотрения конкретного примера. Понятно, что никакие примеры доказательства справедливости (44) для общего случая дать не могут. Зато конкретные примеры могут дать наглядное представление о том, как соотношение (44) «работает».
Начнем с обсуждения вспомогательного вопроса о силах, действующих на поверхностные заряды со стороны электрического поля. Более конкретно – силы, действующие на заряды поверхности проводника.
Мы знаем, что на точечный заряд q со стороны электрического поля E→ действует сила
где E→ – напряженность поля, возбуждаемого всеми зарядами системы, кроме самого заряда q. Когда же мы обращаемся к силам, действующим на поверхностные заряды, возникает трудность, связанная с тем, что поле E→ по разные стороны поверхности имеет разные значения, а на самой поверхности неопределено. Как мы уже обсуждали, внутри проводника поле тождественно равно нулю, а с внешней стороны поверхности имеет только нормальную компоненту, связанную с локальной поверхностной плотностью σ (см. рис. 34). Понятно, что представление о разрыве поля обусловлено неявным отказом от рассмотрения структуры тонкого слоя, где расположены заряды, и предположим, что этот слой представляет собой бесструктурную математическую поверхность. Такая идеализация весьма продуктивна, позволяя нам определить поля вне и внутри проводника, пользуясь простыми средствами. Определение структуры поверхностного слоя для металлических проводников проводится с учетом функции распределения Ферми-Дирака для электронов проводимости и пока для нас недоступно. Но тот факт, что поверхность проводника, где сосредоточены заряды, на самом деле обладает некоторой конечной толщиной δ, хотя и весьма малой, где заряды распределены по объему, позволяет легко получить выражение, связывающее силы, действующие на поверхность проводника, с напряженностью поля вблизи этой поверхности.
Итак, рассмотрим выделенный на рис. 34 участок поверхности dS проводника. Имея ввиду, что толщина слоя очень мала, кривизной поверхности можно пренебречь и считать поверхность проводника и рассматриваемый слой плоскими.
По внешней нормали к поверхности проводника проведем ось x и пусть слой, где распределены заряды, занимает область (рис. 35). Можно считать, что поле E→ внутри и вблизи слоя не зависит от координат y,z и имеет только x-компоненту Ex(x), а объемная плотность заряда характеризуется функцией ρ(x). Левее этого слоя электрическое поле равно нулю (поле внутри проводника). Следовательно, Ex(x) внутри слоя удовлетворяет уравнению
dEx dx = 4πρ(x),(∗)
граничному условию E(0) = 0 и имеет решение
Ex(x) = 4π ∫ 0xρ(ξ)dξ.
Теперь нетрудно найти силу, действующую на слой,
f→ = fxe→x,fx = ∫ 0δρ(x)E x(x)dx,
приходящуюся на единицу поверхности проводника. Подставив сюда вместо ρ(x) выражение из (*), получаем
fx = 1 4π ∫ 0δE x(x)dEx dx dx = 1 8π ∫ 0δ d dx2dx,
где E0 = Ex(δ) = 4π ∫ 0δρ(x)dx = 4πσ – напряженность поля на внешней поверхности проводника.
Таким образом,сила, действующая на поверхность проводника, определяется суммарным зарядом σ = ∫ 0δρ(x)dx, приходящимся на единицу площади поверхности, и не зависит от распределения ρ(x). Обратим внимание, что при любом знаке заряда σ, т.е. при любом направлении поля E→0, сила f→ направлена вдоль внешней нормали, т.е. f→ = E02 8π n→. (16.4)
Заметим, что результат (45) справедлив для любой заряженной поверхности, если только по одну сторону от поверхности напряженность поля равна нулю.
Теперь обратимся к примеру, призванному служить иллюстрацией к выражению
W = 1 8π ∫ E2dV.
Пример 1. Пусть сферическая поверхность радиуса R равномерно заряжена с суммарным зарядом q. Рассмотрев процесс расширения сферы до радиуса R + dR найти выражение для плотности энергии электрического поля.
в начальном состоянииEr = q r2 приr > R 0приr < R
в конечном состоянииEr = q r2 приr > R + dR 0приr < R + dR
Поля изображены на рисунке 36.
Со стороны электрического поля на сферу действуют силы с плотностью
fr = 1 8πE02,E 0 = q R2.
Эти силы совершают работу
δA = fr ⋅ 4πR2dR = 1 8πE02 ⋅ 4πR2dR.(а)
В процессе расширения сферы электрическое поле в пространстве r > R + dR осталось без изменения, а в сферическом слое (R,R + dR) исчезло полностью, т.е. энергия электрического поля изменилась на величину
dW = −W ⋅ 4πR2dR,(б)
где W – искомая объемная плотность энергии.
Согласно закону сохранения энергии
т.е. работа δA электрических сил совершена за счет убыли энергии электрического поля. Подставляя сюда выражения (а) и (б), после сокращения на объем слоя 4πR2dR получаем W = 1 8πE02 – то, что мы хотели увидеть.
Замечание. Этой сферой можно воспользоваться для решения обратной задачи: считая, что плотность энергии W нам известна, найти поверхностную силу fr, отнесенную к единице поверхности заряженной сферы со стороны электрического поля. Решение очевидно.
В качестве второго примера вычислим энергию поля равномерно заряженного шара радиуса a
Er = q r2 при r ≥ R q a3 r при r < a
W = 1 8π ∫ 0aq2 a6r2 ⋅ 4πr2dr + 1 8π ∫ a∞q2 r44πr2dr = 3 5 q2 a .
Воспользуемся полученным результатом для введения понятия «классический радиус частицы».
По теории относительности поле с энергией W обладает массой m = W∕c2. Следовательно, любая частица с массой m и зарядом q не может иметь размер, меньший
т.к. масса частицы не может быть меньше массы ее поля (при выписывании этой формулы константа 3/5 не принимается во внимание).
Например, для электрона
re = e2 mc2 ≃ 2,8 ⋅ 10−13см.
