Модуль силы кулона. Закон Кулона и квантовая электродинамика

Часть III. Электрическое поле.

Раздел электричества, который занимается физикой неподвижных зарядов, называется электростатикой. Известно, что в природе существуют два рода электрических зарядов – положительных и отрицательных. Установлено, что заряды одинакового рода отталкиваются друг от друга, а разного рода притягиваются. На основании ряда экспериментов (Опыт Р. Милликена, А.Ф. Иоффе и др.) показано, что в природе все электрические заряды состоят из дискретных зарядов, и равных по модулю 1,6×10 -19 Кл. Этот заряд по величине равен заряду электрона. Наименьшая, устойчивая частица, обладающая таким же по величине, но положительным зарядом является протон. Масса электрона и протона соответственно равна: 9,1 × 10 -31 кг и 1,67× 10 -27 кг.Обобщением большого количества опытных данных был установлен фундаментальный закон природы, закон сохранения заряда: в изолированной системе алгебраическая сумма зарядов, т.е. положительных и отрицательных остается постоянной. Изолированной или замкнутой системой называется система, не обменивающаяся зарядами с внешними телами.

Основной закон взаимодействия неподвижных зарядов установлен Кулоном экспериментально. До формулировки закона Кулона введем понятие точечного заряда (аналогично понятию материальной точки в кинематике), заряда, находящегося на теле линейные размеры которого пренебрежно малы по сравнению с расстоянием до других заряженных тел, с которыми этот заряд взаимодействует. Причина этого введения, станет понятной чуть позже. По закону Кулона, сила взаимодействия между двумя точечными зарядами, находящимися в вакууме пропорциональна величинам этих зарядов q 1 и q 2 и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними

где k – коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единицы. Силы, действующие между зарядами направлены по прямой, соединяющей заряды т.е. являются центральными. Для одноименных зарядов (q 1 >0 и q 2 >0) или (q 1 < 0 и q 2 < 0) сила F > 0 и для разноименных F < 0. В векторной форме закон Кулона записывается так:

, (3.4.2)

где - сила, действующая на заряд 2 со стороны заряда 1, - радиус- вектор, направленный от заряда 1 к заряду 2, . Таким образом, уравнение (3.4.2) кроме всего выражает, что одноименные заряды отталкиваются, а разноименные притягиваются. Если взаимодействующие заряды находятся не в вакууме, а в какой- либо среде, то закон Кулона записывается:

где e - безразмерная величина, характеризующая электрические свойства среды и называется диэлектрической проницаемостью среды. Для вакуума e = 1. Из сравнения формул (3.4.1 и 3.1.3) следует, что e показывает во сколько раз сила взаимодействия между двумя зарядами в данной среде отличается от силы их взаимодействия в вакууме. Коэффициент k в системе СИ равен.

Заряды и электричество - это термины, обязательные для тех случаев, когда наблюдается взаимодействие заряженных тел. Силы отталкивания и притяжения словно исходят от заряженных тел и распространяются одновременно во всех направлениях, постепенно затухая на расстоянии. Эту силу в свое время открыл известный французский естествоиспытатель Шарль Кулон, и правило, которому подчиняются заряженные тела, с тех пор называется Закон Кулона.

Шарль Кулон

Французский ученый родился во Франции, где получил блестящее образование. Он активно применял полученные знания в инженерных науках и внес значительный вклад теорию механизмов. Кулон является автором работ, в которых изучалась работа ветряных мельниц, статистика различных сооружений, кручение нитей под влиянием внешних сил. Одна из этих работ помогла открыть закон Кулона-Амонтона, объясняющий процессы трения.

Но основной вклад Шарль Кулон внес в изучение статического электричества. Опыты, которые проводил этот французский ученый, подвели его к пониманию одного из наиболее фундаментальных законов физики. Именно ему мы обязаны знанием природы взаимодействия заряженных тел.

Предыстория

Силы притяжения и отталкивания, с которыми электрические заряды действуют друг на друга, направлены вдоль прямой, соединяющей заряженные тела. С увеличением расстояния эта сила ослабевает. Спустя столетие после того, как Исаак Ньютон открыл свой всемирный закон тяготения, французский ученый Ш. Кулон исследовал экспериментальным путем принцип взаимодействия между заряженными телами и доказал, что природа такой силы аналогична силам тяготения. Более того, как оказалось, взаимодействующие тела в электирическом поле ведут себя так же, как и любые тела, обладающие массой, в гравитационном поле.

Прибор Кулона

Схема прибора, при помощи которого Шарль Кулон делал свои измерения, приведена на рисунке:

Как можно видеть, по существу эта конструкция не отличается от того прибора, которым в свое время Кавендиш измерял величину гравитационной постоянной. Изолирующий стержень, подвешенный на тонкой нити, заканчивается металлическим шариком, которому сообщен определенный электрический заряд. К шарику приближают другой металлический шарик, а затем, по мере сближения, измеряют силу взаимодействия по степени закручивания нити.

Эксперимент Кулона

Кулон предположил, что к силе, с которой закручивается нить, можно применить уже известный тогда Закон Гука. Ученый сравнил изменение силы при различной дистанции одного шарика от другого и установил, что сила взаимодействия изменяет свое значение обратно пропорционально квадрату дистанции между шариками. Кулон сумел изменять значения заряженного шарика от q до q/2, q/4, q/8 и так далее. При каждом изменении заряда сила взаимодействия пропорционально меняла свое значение. Так, постепенно, было сформулировано правило, которое впоследствии было названо «Закон Кулона».

Определение

Экспериментальным путем французский ученый доказал, что силы, с которыми взаимодействуют два заряженных тела, пропорциональны произведению их зарядов и обратно пропорциональны квадрату расстояния между зарядами. Это утверждение и представляет собой закон Кулона. В математическом виде он может быть выражен так:

В этом выражении:

• q- количество заряда;
• d - расстояние между заряженными телами;
• k- электрическая постоянная.

Значение электрической постоянной во многом зависит от выбора единицы измерения. В современной системе величина электрического заряда измеряется в кулонах, а электрическая постоянная, соответственно, в ньютон×м 2 / кулон 2 .

Последние измерения показали, что данный коэффициент должен учитывать диэлектрическую проницаемость среды, в которой проводится опыт. Сейчас величину показывают в виде соотношения k=k 1 /e, где к 1 является уже знакомой нам электрической константой, а не является показателем диэлектрической проницаемости. В условиях вакуума эта величина равна единице.

Выводы из закона Кулона

Ученый экспериментировал с различной величиной зарядов, проверяя взаимодействие между телами с различной величиной заряда. Разумеется, измерить электрический заряд в каких-либо единицах он не мог - не хватало ни знаний, ни соответствующих приборов. Шарль Кулон смог разделять снаряд, прикасаясь к заряженному шарику незаряженным. Так он получал дробные значения исходного заряда. Ряд опытов показал, что электрический заряд сохраняется, происходит обмен без увеличения или уменьшения количества заряда. Этот фундаментальный принцип лег в основу закона сохранения электрического заряда. В настоящее время доказано, что этот закон соблюдается и в микромире элементарных частиц и в макромире звезд и галактик.

Условия, необходимые для выполнения закона Кулона

Для того чтобы закон выполнятся с большей точностью, необходимо выполнение следующих условий:

• Заряды должны быть точечными. Другими словами, дистанция между наблюдаемыми заряженными телами должна быть намного больше их размеров. Если заряженные тела имеют сферическую форму, то можно считать, что весь заряд находится в точке, которая является центром сферы.
• Измеряемые тела должна быть неподвижными. Иначе на движущийся заряд будут влиять многочисленные сторонние факторы, например, сила Лоренца, которая придает заряженному телу дополнительное ускорение. А также магнитное поле движущегося заряженного тела.
• Наблюдаемые тела должны находиться в вакууме, чтобы избежать воздействия потоков воздушных масс на результаты наблюдений.

Закон Кулона и квантовая электродинамика

С точки зрения квантовой электродинамики взаимодействие заряженных тел происходит посредством обмена виртуальными фотонами. Существование таких ненаблюдаемых частиц и нулевой массы, но не нулевыго заряда косвенно подтверждается принципом неопределенности. Согласно этому принципу, виртуальный фотон может существовать между мгновениями испускания такой частицы и ее поглощения. Чем меньше расстояние между телами, тем меньше времени затрачивает фотон на прохождение пути, следовательно, тем больше энергия испускаемых фотонов. При небольшой дистанции между наблюдаемыми зарядами принцип неопределенности допускает обмен и коротковолновыми и длинноволновыми частицами, а при больших расстояниях коротковолновые фотоны в обмене не участвуют.

Есть ли пределы применения закона Кулона

Закон Кулона полностью объясняет поведение двух точечных зарядов в вакууме. Но когда речь идет о реальных телах, следует принимать во внимание объемные размеры заряженных тел и характеристики среды, в которой ведется наблюдение. Например, некоторые исследователи наблюдали, что тело, несущее в себе небольшой заряд и принудительно внесенное в электрическое поле другого объекта с большим зарядом, начинает притягиваться к этому заряду. В этом случае утверждение, что одноименно заряженные тела отталкиваются, дает сбой, и следует искать другое объяснение наблюдаемому явлению. Скорее всего, здесь не идет речь о нарушении закона Кулона или принципа сохранения электрического заряда - возможно, что мы наблюдаем неизученные до конца явления, объяснить которые наука сможет немного позже.

План:

Введение

• 1 Коэффициент k
• 2 Закон Кулона в квантовой механике
• 3 Закон Кулона с точки зрения квантовой электродинамики
• 4 История
• 5 Закон Кулона, принцип суперпозиции и уравнения Максвелла
• 6 Cтепень точности закона Кулона
  • 6.1 Поправки к закону Кулона в квантовой электродинамике
  • 6.2 Закон Кулона и поляризация вакуума
  • 6.3 Закон Кулона и сверхтяжелые ядра
• 7 Значение закона Кулона в истории науки
Примечания
Литература

Введение

О законе сухого трения см. Закон Амонтона - Кулона

Зако́н Куло́на - это закон о взаимодействии точечных электрических зарядов.

Был открыт Шарлем Кулоном в 1785 г. Проведя большое количество опытов с металлическими шариками, Шарль Кулон дал такую формулировку закона:

Сила взаимодействия двух точечных неподвижных заряженных тел в вакууме направлена вдоль прямой, соединяющей заряды, прямо пропорциональна произведению модулей зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Важно отметить, что для того, чтобы закон был верен, необходимы:

1. точечность зарядов - то есть расстояние между заряженными телами много больше их размеров - впрочем, можно доказать, что сила взаимодействия двух объёмно распределённых зарядов со сферически симметричными непересекающимися пространственными распределениями равна силе взаимодействия двух эквивалентных точечных зарядов, размещённых в центрах сферической симметрии;
2. их неподвижность. Иначе вступают в силу дополнительные эффекты: магнитное поле движущегося заряда и соответствующая ему дополнительная сила Лоренца, действующая на другой движущийся заряд;
3. взаимодействие в вакууме.

Однако с некоторыми корректировками закон справедлив также для взаимодействий зарядов в среде и для движущихся зарядов.

В векторном виде в формулировке Ш. Кулона закон записывается следующим образом:

где - сила, с которой заряд 1 действует на заряд 2; q 1 ,q 2 - величина зарядов; - радиус-вектор (вектор, направленный от заряда 1 к заряду 2, и равный, по модулю, расстоянию между зарядами - r 12 ); k - коэффициент пропорциональности. Таким образом, закон указывает, что одноимённые заряды отталкиваются (а разноимённые - притягиваются).

1. Коэффициент k

В СГСЭ единица измерения заряда выбрана таким образом, что коэффициент k" равен единице.

В СИ = 8,9875517873681764×10 9 Н·м²/Кл² (или Ф −1 ·м) и записывается следующим образом:

где ≈ 8,854187817×10 −12 Ф/м - электрическая постоянная.

В однородном изотропном веществе в знаменатель формулы добавляется диэлектрическая проницаемость среды ε.

2. Закон Кулона в квантовой механике

В квантовой механике закон Кулона формулируется не при помощи понятия силы, как в классической механике, а при помощи понятия потенциальной энергии кулоновского взаимодействия. В случае, когда рассматриваемая в квантовой механике система содержит электрически заряженные частицы, к оператору Гамильтона системы добавляются слагаемые, выражающие потенциальную энергию кулоновского взаимодействия, так, как она вычисляется в классической механике.

Так, оператор Гамильтона атома с зарядом ядра Z имеет вид:

Здесь m - масса электрона, е - его заряд, r j - абсолютная величина радиус-вектора j-го электрона, r i j = | r i − r j | . Первое слагаемое выражает кинетическую энергию электронов, второе слагаемое - потенциальную энергию кулоновского взаимодействия электронов с ядром и третье слагаемое - потенциальную кулоновскую энергию взаимного отталкивания электронв. Суммирование в первом и втором слагаемом ведется по всем N электронам. В третьем слагаемом суммирование идёт по всем парам электронов, причём каждая пара встречается однократно.

3. Закон Кулона с точки зрения квантовой электродинамики

Согласно квантовой электродинамике, электромагнитное взаимодействие заряженных частиц осуществляется путём обмена виртуальными фотонами между частицами. Принцип неопределённости для времени и энергии допускает существование виртуальных фотонов на время между моментами их испускания и поглощения. Чем меньше расстояние между заряженными частицами, тем меньшее время нужно виртуальным фотонам для преодоления этого расстояния и следовательно, тем большая энергия виртуальных фотонов допускается принципом неопределенности. При малых расстояниях между зарядами принцип неопределённости допускает обмен как длинноволновыми, так и коротковолновыми фотонами, а при больших расстояниях в обмене участвуют только длинноволновые фотоны. Таким образом, с помощью квантовой электродинамики можно вывести закон Кулона.

4. История

Примерно за 11 лет до Кулона закон взаимодействия зарядов был открыт Г. Кавендишем, однако результат не был опубликован и долгое время (свыше 100 лет) оставался неизвестным. Рукописи Кавендиша были вручены Д.К.Максвеллу лишь в 1874 г одним из потомков Кавендиша на торжественном открытии Кавендишской лаборатории и опубликованы в 1879 г.

Сам Кулон занимался исследованием кручения нитей и изобрел крутильные весы. Он открыл свой закон, измеряя с помощью них силы взаимодействия заряженных шариков.

5. Закон Кулона, принцип суперпозиции и уравнения Максвелла

Закон Кулона и принцип суперпозиции для электрических полей полностью равносильны уравнениям Максвелла для электростатики divD = 4πρ и rotE = 0 . То есть закон Кулона и принцип суперпозиции для электрических полей выполняются тогда и только тогда, когда выполняются уравнения Максвелла для электростатики и, наоборот, уравнения Максвелла для электростатики выполняются тогда и только тогда, когда выполняются закон Кулона и принцип суперпозиции для электрических полей .

6. Cтепень точности закона Кулона

Закон Кулона - экспериментально установленный факт. Его справедливость неоднократно подтверждалась всё более точными экспериментами. Одним из направлений таких экспериментов является проверка того, отличается ли показатель степени r в законе от 2. Для поиска этого отличия используется тот факт, что если степень точно равна двум, то поле внутри полости в проводнике отсутствует, какова бы ни была форма полости или проводника .

Эксперименты, проведённые в 1971 г. в США Э.Р. Уильямсом, Д.Е. Фоллером и Г.А. Хиллом, показали, что показатель степени в законе Кулона равен 2 с точностью до .

Для проверки точности закона Кулона на внутриатомных расстояниях У.Ю. Лэмбом и Р. Резерфордом в 1947 г. были использованы измерения относительного расположения уровней энергии водорода. Было установлено, что и на расстояниях порядка атомных 10 −8 см, показатель степени в законе Кулона отличается от 2 не более чем на 10 −9 .

Коэффициент k в законе Кулона остается постоянным с точностью до 15×10 −6 .

6.1. Поправки к закону Кулона в квантовой электродинамике

На небольших расстояниях (порядка комптоновской длины волны электрона, ≈3.86×10 −13 м , где m e - масса электрона, - постоянная Планка, c - скорость света) становятся существенными нелинейные эффекты квантовой электродинамики: на обмен виртуальными фотонами накладывается генерация виртуальных электрон-позитронных (а также мюон-антимюонных и таон-антитаонных) пар, а также уменьшается влияние экранирования (см. перенормировка). Оба эффекта ведут к появлению экспоненциально убывающих членов порядка в выражении для потенциальной энергии взаимодействия зарядов и, как результат, к увеличению силы взаимодействия по сравнению с вычисляемой по закону Кулона. Например, выражение для потенциала точечного заряда Q в системе СГС, с учётом радиационных поправок первого порядка принимает вид :

где λ e - комптоновская длина волны электрона, - постоянная тонкой структуры и . На расстояниях порядка ~ 10 −18 м, где m w - масса W-бозона, в игру вступают уже электрослабые эффекты.

В сильных внешних электромагнитных полях, составляющих заметную долю от поля пробоя вакуума (порядка ~10 18 В/м или ~10 9 Тл, такие поля наблюдаются, например, вблизи некоторых типов нейтронных звёзд, а именно магнитаров) закон Кулона также нарушается в силу дельбрюковского рассеяния обменных фотонов на фотонах внешнего поля и других, более сложных нелинейных эффектов. Это явление уменьшает кулоновскую силу не только в микро- но и в макромасштабах, в частности, в сильном магнитном поле кулоновский потенциал падает не обратно пропорционально расстоянию, а экспоненциально .

6.2. Закон Кулона и поляризация вакуума

Явление поляризации вакуума в квантовой электродинамике заключается в образовании виртуальных электронно-позитронных пар. Облако электронно-позитронных пар экранирует электрический заряд электрона. Экранировка растет с ростом расстояния от электрона, в результате эффективный электрический заряд электрона e e является убывающей функцией расстояния e e = e e (r ) . Эффективный потенциал, создаваемый электроном с электрическим зарядом e , можно описать зависимостью вида e e (r ) / r . Эффективный заряд e e (r ) зависит от расстояния r по логарифмическому закону.