Курс рассчитан в основном на студентов, рассчитывающих в дальнейшем профессионально заниматься теоретической физикой. Он посвящен решению задач по квантовой механике и детальному изучению используемых при этом методов. Особое внимание уделяется тем подходам и задачам, которые не включены (или мало затронуты) в общем курсе теоретической физики МФТИ, как, например, адиабатическое приближение, интегралы по траекториям и топологические свойства фазы Берри. Дополнительной целью курса является подготовка к сдаче экзамена теоретического минимума по квантовой механике, необходимого для учебы на кафедре «Проблемы теоретической физики».
Курс — годовой, читается в течение двух семестров.
Программа
- Введение в квантовую механику:
- Операторы и наблюдаемые
- Уравнение Шрёдингера
- Двухуровневая система, осцилляции Раби
- Одномерное движение. Связанные состояния:
- Общие свойства стационарных состояний
- Осцилляторная теорема
- Состояния в мелких потенциальных ямах
- Квантовый гармонический осциллятор, лестничные операторы
- Одномерное движение. Непрерывный спектр:
- Плотность потока вероятности
- Одномерная задача рассеяния
- Эволюция волновых пакетов
- Точно решаемые задачи
- Двумерные осесимметричные задачи
- Применение гипергеометрической функции для решения потенциалов специального вида
- Гармонический осциллятор
- Теория возмущений:
- Поправки к энергиям и волновым функциям
- Секулярное уравнение, эффективный гамильтониан для почти вырожденной задачи
- Нестационарная теория возмущений
- Золотое правило Ферми
- Адиабатическое приближение:
- Медленно меняющийся во времени гамильтониан, адиабатический анзац
- Фаза Берри
- Стационарное адиабатическое приближение, «быстрая» и «медленная» подсистемы
- Квазиклассическое приближение. Часть 1:
- Квазиклассическая волновая функция
- Граничные условия и правило Бора-Зоммерфельда
- Туннелирование
- Квазиклассическое приближение. Часть 2:
- Условия сшивки квазиклассических функций в матричном виде
- Туннельное расщепление в двухъямном потенциале
- Распад метастабильного состояния
- Связь с адиабатикой и задача Ландау-Зенера
- Математические методы квантовой механики:
- Метод Лапласа на примере движения частицы в постоянном электрическом поле
- Метод перевала
- Точное решение задачи Ландау-Зенера
- Теория рассеяния. Одночастичная функция Грина:
- Постановка задачи рассеяния, сечение рассеяния
- Теория возмущений для функции Грина
- Формула Борна
- Рассеяние на малые углы
- Рассеяние медленных частицы
- Теория рассеяния. Фазовая теория:
- Общие свойства свободного движения в сферически симметричных потенциалах
- Фазовые сдвиги
- Разложение плоской волны
- Фазовая теория рассеяния
- Применение квазиклассического приближения для вычисления фазовых сдвигов
- Матрица плотности:
- Общие свойства и аппарат матриц плотности
- «Чистые» и «смешанные» состояния
- Редуцированная матрица плотности, запутанность
- Эволюция матрицы плотности
- Открытые двухуровневые системы:
- Спин-бозонная модель
- Уравнение Линдблада на редуцированную матрицу плотности в приближении Борна-Маркова
- Времена релаксации и дефазировки
- Подавление туннелирования за счёт взаимодействия с окружающей средой
- Частица, взаимодействующая с окружающей средой:
- Диссипативная квантовая механика
- Модель Калдейры-Леггетта
- Топологические явления в квантовой механике:
- Модель SSH
- Топологические фазы
- Топологически защищённые краевые состояния
- Состояния Jackiw-Rebby
- Связь фазы Берри и топологии:
- Топологические изоляторы
- Кривизна Берри
- Квантование холловской проводимости, её связь с кривизной Берри
- Интеграл по траекториям для квантовой частицы:
- Выражение для запаздывающего пропагатора квантовой частицы через функциональный интеграл
- Пропагатор свободной частицы
- Гауссовы функциональные интегралы. Пропагатор квантового гармонического осциллятора
- Эквивалентность формулировки через интеграл по траекториям и уравнения Шрёдингера
- Инстантоны. Часть 1:
- Двухъямный потенциал
- Виковский поворот
- Метод перевала в функциональном интеграле
- Вычисление флуктуационного детерминанта через точную диагонализацию
- Нулевые моды
- Инстантоны. Часть 2:
- Суммирование «разреженного инстантонного газа»
- Формализм Гельфанда-Яглома для вычисления функциональных детерминантов
- Надбарьерное отражение:
- Квазиклассическое приближение в комплексной плоскости
- Явление Стокса
- Комплексные точки поворота
Литература
- Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц "Квантовая механика (нерелятивистская теория)", М., Наука, 1989
- В.М.Галицкий, Б.М.Карнаков, В.И.Коган "Задачи по квантовой механике", М., Наука, 1992
- З.Флюгге "Задачи по квантовой механике (в 2 томах)", Мир, 1974
- Р.Фейнман, А.Хибс "Квантовая механика и интегралы по траекториям"
| По вопросам работы сайта обращайтесь к |
На субатомном уровне частицы описываются волновыми функциями.
Слово «квант» происходит от латинского quantum («сколько, как много») и английского quantum («количество, порция, квант»). «Механикой» издавна принято называть науку о движении материи. Соответственно, термин «квантовая механика» означает науку о движении материи порциями (или, выражаясь современным научным языком науку о движении квантующейся материи). Термин «квант» ввел в обиход немецкий физик Макс Планк (см. Постоянная Планка) для описания взаимодействия света с атомами.
Квантовая механика часто противоречит нашим понятиям о здравом смысле. А всё потому, что здравый смысл подсказывает нам вещи, которые берутся из повседневного опыта, а в своем повседневном опыте нам приходится иметь дело только с крупными объектами и явлениями макромира, а на атомарном и субатомном уровне материальные частицы ведут себя совсем иначе. Принцип неопределенности Гейзенберга как раз и очерчивает смысл этих различий. В макромире мы можем достоверно и однозначно определить местонахождение (пространственные координаты) любого объекта (например, этой книги). Не важно, используем ли мы линейку, радар, сонар, фотометрию или любой другой метод измерения, результаты замеров будут объективными и не зависящими от положения книги (конечно, при условии вашей аккуратности в процессе замера). То есть некоторая неопределенность и неточность возможны - но лишь в силу ограниченных возможностей измерительных приборов и погрешностей наблюдения. Чтобы получить более точные и достоверные результаты, нам достаточно взять более точный измерительный прибор и постараться воспользоваться им без ошибок.
Теперь если вместо координат книги нам нужно измерить координаты микрочастицы, например электрона, то мы уже не можем пренебречь взаимодействиями между измерительным прибором и объектом измерения. Сила воздействия линейки или другого измерительного прибора на книгу пренебрежимо мала и не сказывается на результатах измерений, но чтобы измерить пространственные координаты электрона, нам нужно запустить в его направлении фотон, другой электрон или другую элементарную частицу сопоставимых с измеряемым электроном энергий и замерить ее отклонение. Но при этом сам электрон, являющийся объектом измерения, в результате взаимодействия с этой частицей изменит свое положение в пространстве. Таким образом, сам акт замера приводит к изменению положения измеряемого объекта, и неточность измерения обусловливается самим фактом проведения измерения, а не степенью точности используемого измерительного прибора. Вот с какой ситуацией мы вынуждены мириться в микромире. Измерение невозможно без взаимодействия, а взаимодействие - без воздействия на измеряемый объект и, как следствие, искажения результатов измерения.
О результатах этого взаимодействия можно утверждать лишь одно:
неопределенность пространственных координат × неопределенность скорости частицы > h /m ,
или, говоря математическим языком:
Δx × Δv > h /m
где Δx и Δv - неопределенность пространственного положения и скорости частицы соответственно, h - постоянная Планка, а m - масса частицы.
Соответственно, неопределенность возникает при определении пространственных координат не только электрона, но и любой субатомной частицы, да и не только координат, но и других свойств частиц - таких как скорость. Аналогичным образом определяется и погрешность измерения любой такой пары взаимно увязанных характеристик частиц (пример другой пары - энергия, излучаемая электроном, и отрезок времени, за который она испускается). То есть если нам, например, удалось с высокой точностью измерили пространственное положение электрона, значит мы в этот же момент времени имеем лишь самое смутное представление о его скорости, и наоборот. Естественно, при реальных измерениях до этих двух крайностей не доходит, и ситуация всегда находится где-то посередине. То есть если нам удалось, например, измерить положение электрона с точностью до 10 –6 м, значит мы одновременно можем измерить его скорость, в лучшем случае, с точностью до 650 м/с.
Из-за принципа неопределенности описание объектов квантового микромира носит иной характер, нежели привычное описание объектов ньютоновского макромира. Вместо пространственных координат и скорости, которыми мы привыкли описывать механическое движение, например шара по бильярдному столу, в квантовой механике объекты описываются так называемой волновой функцией. Гребень «волны» соответствует максимальной вероятности нахождения частицы в пространстве в момент измерения. Движение такой волны описывается уравнением Шрёдингера, которое и говорит нам о том, как изменяется со временем состояние квантовой системы.
Картина квантовых событий в микромире, рисуемая уравнением Шрёдингера, такова, что частицы уподобляются отдельным приливным волнам, распространяющимся по поверхности океана-пространства. Со временем гребень волны (соответствующий пику вероятности нахождения частицы, например электрона, в пространстве) перемещается в пространстве в соответствии с волновой функцией, являющейся решением этого дифференциального уравнения. Соответственно, то, что нам традиционно представляется частицей, на квантовом уровне проявляет ряд характеристик, свойственных волнам.
Согласование волновых и корпускулярных свойств объектов микромира (см. Соотношение де Бройля) стало возможным после того, как физики условились считать объекты квантового мира не частицами и не волнами, а чем-то промежуточным и обладающим как волновыми, так и корпускулярными свойствами; в ньютоновской механике аналогов таким объектам нет. Хотя и при таком решении парадоксов в квантовой механике всё равно хватает (см. Теорема Белла), лучшей модели для описания процессов, происходящих в микромире, никто до сих пор не предложил.
