Функции сложного вида не всегда подходят под определение сложной функции. Если имеется функция вида y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 , то ее нельзя считать сложной в отличие от y = sin 2 x .
Данная статья покажет понятие сложной функции и ее выявление. Поработаем с формулами нахождения производной с примерами решений в заключении. Применение таблицы производных и правила дифференцирования заметно уменьшают время для нахождения производной.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Основные определения
Определение 1Сложной функцией считается такая функция, у которой аргумент также является функцией.
Обозначается это таким образом: f (g (x)) . Имеем, что функция g (x) считается аргументом f (g (x)) .
Определение 2
Если есть функция f и является функцией котангенса, тогда g (x) = ln x – это функция натурального логарифма. Получаем, что сложная функция f (g (x)) запишется как arctg(lnx). Или функция f , являющаяся функцией возведенной в 4 степень, где g (x) = x 2 + 2 x - 3 считается целой рациональной функцией, получаем, что f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .
Очевидно, что g (x) может быть сложной. Из примера y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 видно, что значение g имеет кубический корень с дробью. Данное выражение разрешено обозначать как y = f (f 1 (f 2 (x))) . Откуда имеем, что f – это функция синуса, а f 1 - функция, располагаемая под квадратным корнем, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 - дробная рациональная функция.
Определение 3
Степень вложенности определено любым натуральным числом и записывается как y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) .
Определение 4
Понятие композиция функции относится к количеству вложенных функций по условию задачи. Для решения используется формула нахождения производной сложной функции вида
(f (g (x))) " = f " (g (x)) · g " (x)
Примеры
Пример 1Найти производную сложной функции вида y = (2 x + 1) 2 .
Решение
По условию видно, что f является функцией возведения в квадрат, а g (x) = 2 x + 1 считается линейной функцией.
Применим формулу производной для сложной функции и запишем:
f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 · (g (x)) 2 - 1 = 2 · g (x) = 2 · (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 · x " + 0 = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) · g " (x) = 2 · (2 x + 1) · 2 = 8 x + 4
Необходимо найти производную с упрощенным исходным видом функции. Получаем:
y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1
Отсюда имеем, что
y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 · (x 2) " + 4 · (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4
Результаты совпали.
При решении задач такого вида важно понимать, где будет располагаться функция вида f и g (x) .
Пример 2
Следует найти производные сложных функций вида y = sin 2 x и y = sin x 2 .
Решение
Первая запись функции говорит о том, что f является функцией возведения в квадрат, а g (x) – функцией синуса. Тогда получим, что
y " = (sin 2 x) " = 2 · sin 2 - 1 x · (sin x) " = 2 · sin x · cos x
Вторая запись показывает, что f является функцией синуса, а g (x) = x 2 обозначаем степенную функцию. Отсюда следует, что произведение сложной функции запишем как
y " = (sin x 2) " = cos (x 2) · (x 2) " = cos (x 2) · 2 · x 2 - 1 = 2 · x · cos (x 2)
Формула для производной y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) запишется как y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) · · f 2 " (f 3 (. . . (f n (x)))) · . . . · f n " (x)
Пример 3
Найти производную функции y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) .
Решение
Данный пример показывает сложность записи и определения расположения функций. Тогда y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) обозначим, где f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) является функцией синуса, функцией возведения в 3 степень, функцией с логарифмом и основанием е, функцией арктангенса и линейной.
Из формулы определения сложной функции имеем, что
y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) · f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) · · f 2 " (f 3 (f 4 (x))) · f 3 " (f 4 (x)) · f 4 " (x)
Получаем, что следует найти
- f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) в качестве производной синуса по таблице производных, тогда f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
- f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) в качестве производной степенной функции, тогда f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 · ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 · ln 2 a r c t g (2 x) .
- f 2 " (f 3 (f 4 (x))) в качестве производной логарифмической, тогда f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
- f 3 " (f 4 (x)) в качестве производной арктангенса, тогда f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2 .
- При нахождении производной f 4 (x) = 2 x произвести вынесение 2 за знак производной с применением формулы производной степенной функции с показателем, который равняется 1 , тогда f 4 " (x) = (2 x) " = 2 · x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .
Производим объединение промежуточных результатов и получаем, что
y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) · f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) · · f 2 " (f 3 (f 4 (x))) · f 3 " (f 4 (x)) · f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) · 3 · ln 2 a r c t g (2 x) · 1 a r c t g (2 x) · 1 1 + 4 x 2 · 2 = = 6 · cos (ln 3 a r c t g (2 x)) · ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) · (1 + 4 x 2)
Разбор таких функций напоминает матрешки. Правила дифференцирования не всегда могут быть применены в явном виде при помощи таблицы производных. Зачастую нужно применять формулу нахождения производных сложных функций.
Существуют некоторые различия сложного вида от сложных функций. При явном умении это различать, нахождение производных будет давать особенно легко.
Пример 4
Необходимо рассмотреть на приведении подобного примера. Если имеется функция вида y = t g 2 x + 3 t g x + 1 , тогда ее можно рассмотреть в качестве сложной вида g (x) = t g x , f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Очевидно, что необходимо применение формулы для сложной производной:
f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 · g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 · 1 · g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) · g " (x) = (2 t g x + 3) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x
Функция вида y = t g x 2 + 3 t g x + 1 не считается сложной, так как имеет сумму t g x 2 , 3 t g x и 1 . Однако, t g x 2 считается сложной функцией, то получаем степенную функцию вида g (x) = x 2 и f , являющуюся функцией тангенса. Для этого следует продифференцировать по сумме. Получаем, что
y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 · (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2 x
Переходим к нахождению производной сложной функции (t g x 2) " :
f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 · x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) · g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)
Получаем, что y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x
Функции сложного вида могут быть включены в состав сложных функций, причем сами сложные функции могут являться составными функции сложного вида.
Пример 5
Для примера рассмотрим сложную функцию вида y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x · (x 2 + 1)
Данная функция может быть представлена в виде y = f (g (x)) , где значение f является функцией логарифма по основанию 3 , а g (x) считается суммой двух функций вида h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 и k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Очевидно, что y = f (h (x) + k (x)) .
Рассмотрим функцию h (x) . Это отношение l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 к m (x) = e x 2 + 3 3
Имеем, что l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) является суммой двух функций n (x) = x 2 + 7 и p (x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , где p (x) = 3 · p 1 (p 2 (p 3 (x))) является сложной функцией с числовым коэффициентом 3 , а p 1 - функцией возведения в куб, p 2 функцией косинуса, p 3 (x) = 2 x + 1 - линейной функцией.
Получили, что m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) является суммой двух функций q (x) = e x 2 и r (x) = 3 3 , где q (x) = q 1 (q 2 (x)) - сложная функция, q 1 - функция с экспонентой, q 2 (x) = x 2 - степенная функция.
Отсюда видно, что h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 · p 1 (p 2 (p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)
При переходе к выражению вида k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x) видно, что функция представлена в виде сложной s (x) = ln 2 x = s 1 (s 2 (x)) с целой рациональной t (x) = x 2 + 1 , где s 1 является функцией возведения в квадрат, а s 2 (x) = ln x - логарифмической с основанием е.
Отсюда следует, что выражение примет вид k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x) .
Тогда получим, что
y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x · (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 · p 1 (p 2 (p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) · t (x)
По структурам функции стало явно, как и какие формулы необходимо применять для упрощения выражения при его дифференцировании. Для ознакомления подобных задач и и для понятия их решения необходимо обратиться к пункту дифференцирования функции, то есть нахождения ее производной.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Как найти производную, как взять производную? На данном уроке мы научимся находить производные функций. Но перед изучением данной страницы я настоятельно рекомендую ознакомиться с методическим материалом Горячие формулы школьного курса математики . Справочное пособие можно открыть или закачать на странице Математические формулы и таблицы . Также оттуда нам потребуется Таблица производных , ее лучше распечатать, к ней часто придется обращаться, причем, не только сейчас, но и в оффлайне.
Есть? Приступим. У меня для Вас есть две новости: хорошая и очень хорошая. Хорошая новость состоит в следующем: чтобы научиться находить производные, совсем не обязательно знать и понимать, что такое производная . Более того, определение производной функции, математический, физический, геометрический смысл производной целесообразнее переварить позже, поскольку качественная проработка теории, по моему мнению, требует изучения ряда других тем, а также некоторого практического опыта.
И сейчас наша задача освоить эти самые производные технически. Очень хорошая новость состоит в том, что научиться брать производные не так сложно, существует довольно чёткий алгоритм решения (и объяснения) этого задания, интегралы или пределы , например, освоить труднее.
Советую следующий порядок изучения темы : во-первых, эта статья. Затем нужно прочитать важнейший урок Производная сложной функции . Эти два базовых занятия позволят поднять Ваши навыки с полного нуля. Далее можно будет ознакомиться с более сложными производными в статье Сложные производные. Логарифмическая производная . Если планка окажется слишком высока, то сначала прочитайте вещь Простейшие типовые задачи с производной . Помимо нового материала, на уроке рассмотрены другие, более простые типы производных, и есть прекрасная возможность улучшить свою технику дифференцирования. Кроме того, в контрольных работах почти всегда встречаются задания на нахождение производных функций, которые заданы неявно или параметрически. Такой урок тоже есть: Производные неявных и параметрически заданных функций .
Я попытаюсь в доступной форме, шаг за шагом, научить Вас находить производные функций. Вся информация изложена подробно, простыми словами.
Собственно, сразу рассмотрим пример:
Пример 1
Найти производную функции
Решение: 
Это простейший пример, пожалуйста, найдите его в таблице производных элементарных функций. Теперь посмотрим на решение и проанализируем, что же произошло? А произошла следующая вещь: у нас была функция , которая в результате решения превратилась в функцию .
Говоря совсем просто, для того чтобы найти производную функции, нужно по определенным правилам превратить её в другую функцию . Посмотрите еще раз на таблицу производных – там функции превращаются в другие функции. Единственным исключением является экспоненциальная функция , которая превращается сама в себя. Операция нахождения производной называется дифференцированием .
Обозначения : Производную обозначают или .
ВНИМАНИЕ, ВАЖНО! Забыть поставить штрих (там, где надо), либо нарисовать лишний штрих (там, где не надо) – ГРУБАЯ ОШИБКА! Функция и её производная – это две разные функции!
Вернемся к нашей таблице производных. Из данной таблицы желательно запомнить наизусть : правила дифференцирования и производные некоторых элементарных функций, особенно:
производную константы:
, где – постоянное число;
производную степенной функции:
, в частности: , , .
Зачем запоминать? Данные знания являются элементарными знаниями о производных. И если Вы не сможете ответить преподавателю на вопрос «Чему равна производная числа?», то учеба в ВУЗе может для Вас закончиться (лично знаком с двумя реальными случаями из жизни). Кроме того, это наиболее распространенные формулы, которыми приходится пользоваться практически каждый раз, когда мы сталкиваемся с производными.
В реальности простые табличные примеры – редкость, обычно при нахождении производных сначала используются правила дифференцирования, а затем – таблица производных элементарных функций.
В этой связи переходим к рассмотрению правил дифференцирования :
1) Постоянное число можно (и нужно) вынести за знак производной
Где – постоянное число (константа)
Пример 2
Найти производную функции
Смотрим в таблицу производных. Производная косинуса там есть, но у нас .
Самое время использовать правило, выносим постоянный множитель за знак производной:
А теперь превращаем наш косинус по таблице:
Ну и результат желательно немного «причесать» – ставим минус на первое место, заодно избавляясь от скобок:
2) Производная суммы равна сумме производных
Пример 3
Найти производную функции
Решаем. Как Вы, наверное, уже заметили, первое действие, которое всегда выполняется при нахождении производной, состоит в том, что мы заключаем в скобки всё выражение и ставим штрих справа вверху:
Применяем второе правило:
Обратите внимание, что для дифференцирования все корни, степени нужно представить в виде , а если они находятся в знаменателе, то переместить их вверх. Как это сделать – рассмотрено в моих методических материалах.
Теперь вспоминаем о первом правиле дифференцирования – постоянные множители (числа) выносим за знак производной:
Обычно в ходе решения эти два правила применяют одновременно (чтобы не переписывать лишний раз длинное выражение).
Все функции, находящиеся под штрихами, являются элементарными табличными функциями, с помощью таблицы осуществляем превращение:
Можно всё оставить в таком виде, так как штрихов больше нет, и производная найдена. Тем не менее, подобные выражения обычно упрощают:
Все степени вида желательно снова представить в виде корней, степени с отрицательными показателями – сбросить в знаменатель. Хотя этого можно и не делать, ошибкой не будет.
Пример 4
Найти производную функции 
Попробуйте решить данный пример самостоятельно (ответ в конце урока). Желающие также могут воспользоваться интенсивным курсом в pdf-формате, который особенно актуален, если у вас в распоряжении совсем мало времени.
3) Производная произведения функций
Вроде бы по аналогии напрашивается формула …., но неожиданность состоит в том, что:
Эта необычное правило (как, собственно, и другие) следует из определения производной . Но с теорией мы пока повременим – сейчас важнее научиться решать:
Пример 5
Найти производную функции
Здесь у нас произведение двух функций, зависящих от .
Сначала применяем наше странное правило, а затем превращаем функции по таблице производных:
Сложно? Вовсе нет, вполне доступно даже для чайника.
Пример 6
Найти производную функции 
В данной функции содержится сумма и произведение двух функций – квадратного трехчлена и логарифма . Со школы мы помним, что умножение и деление имеют приоритет перед сложением и вычитанием.
Здесь всё так же. СНАЧАЛА мы используем правило дифференцирования произведения:
Теперь для скобки используем два первых правила:
В результате применения правил дифференцирования под штрихами у нас остались только элементарные функции, по таблице производных превращаем их в другие функции:
Готово.
При определенном опыте нахождения производных, простые производные вроде не обязательно расписывать так подробно. Вообще, они обычно решаются устно, и сразу записывается, что 
.
Пример 7
Найти производную функции 
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока)
4) Производная частного функций
В потолке открылся люк, не пугайся, это глюк.
А вот это вот суровая действительность:
Пример 8
Найти производную функции
Чего здесь только нет – сумма, разность, произведение, дробь…. С чего бы начать?! Есть сомнения, нет сомнений, но, В ЛЮБОМ СЛУЧАЕ для начала рисуем скобочки и справа вверху ставим штрих:
Теперь смотрим на выражение в скобках, как бы его упростить? В данном случае замечаем множитель, который согласно первому правилу целесообразно вынести за знак производной.
Вычисление производной - одна из самых важных операций в дифференциальном исчислении. Ниже приводится таблица нахождения производных простых функций. Более сложные правила дифференцирования смотрите в других уроках:- Таблица производных экспоненциальных и логарифмических функций
Производные простых функций
1. Производная от числа равна нулюс´ = 0
Пример:
5´ = 0
Пояснение
:
Производная показывает скорость изменения значения функции при изменении аргумента. Поскольку число никак не меняется ни при каких условиях - скорость его изменения всегда равна нулю.
2. Производная переменной
равна единице
x´ = 1
Пояснение
:
При каждом приращении аргумента (х) на единицу значение функции (результата вычислений) увеличивается на эту же самую величину. Таким образом, скорость изменения значения функции y = x точно равна скорости изменения значения аргумента.
3. Производная переменной и множителя равна этому множителю
сx´ = с
Пример:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Пояснение
:
В данном случае, при каждом изменении аргумента функции (х
) ее значение (y) растет в с
раз. Таким образом, скорость изменения значения функции по отношению к скорости изменения аргумента точно равно величине с
.
Откуда следует, что
(cx + b)" = c
то есть дифференциал линейной функции y=kx+b равен угловому коэффициенту наклона прямой (k).
4. Производная переменной по модулю равна частному этой переменной к ее модулю
|x|" = x / |x| при условии, что х ≠ 0
Пояснение :
Поскольку производная переменной (см. формулу 2) равна единице, то производная модуля отличается лишь тем, что значение скорости изменения функции меняется на противоположное при пересечении точки начала координат (попробуйте нарисовать график функции y = |x| и убедитесь в этом сами. Именно такое значение и возвращает выражение x / |x| . Когда x < 0 оно равно (-1), а когда x > 0 - единице. То есть при отрицательных значениях переменной х при каждом увеличении изменении аргумента значение функции уменьшается на точно такое же значение, а при положительных - наоборот, возрастает, но точно на такое же значение.
5. Производная переменной в степени
равна произведению числа этой степени и переменной в степени, уменьшенной на единицу
(x c)"= cx c-1
, при условии, что x c и сx c-1 ,определены а с ≠ 0
Пример:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Для запоминания формулы
:
Снесите степень переменной "вниз" как множитель, а потом уменьшите саму степень на единицу. Например, для x 2 - двойка оказалась впереди икса, а потом уменьшенная степень (2-1=1) просто дала нам 2х. То же самое произошло для x 3 - тройку "спускаем вниз", уменьшаем ее на единицу и вместо куба имеем квадрат, то есть 3x 2 . Немного "не научно", но очень просто запомнить.
6. Производная дроби
1/х
(1/х)" = - 1 / x 2
Пример:
Поскольку дробь можно представить как возведение в отрицательную степень
(1/x)" = (x -1)" , тогда можно применить формулу из правила 5 таблицы производных
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / х 2
7. Производная дроби
с переменной произвольной степени
в знаменателе
(1 / x c)" =
- c / x c+1
Пример:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3
8. Производная корня
(производная переменной под квадратным корнем)
(√x)" = 1 / (2√x)
или 1/2 х -1/2
Пример:
(√x)" = (х 1/2)" значит можно применить формулу из правила 5
(х 1/2)" = 1/2 х -1/2 = 1 / (2√х)
9. Производная переменной под корнем произвольной степени
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)
В этой статье мы будем говорить о таком важном математическом понятии, как сложная функция, и учиться находить производную сложной функции.
Прежде чем учиться находить производную сложной функции, давайте разберемся с понятием сложной функции, что это такое, "с чем ее едят", и "как правильно ее готовить".
Рассмотрим произвольную функцию, например, такую:
Заметим, что аргумент , стоящий в правой и левой части уравнения функции - это одно и то же число, или выражение.
Вместо переменной мы можем поставить, например, такое выражение: . И тогда мы получим функцию
Назовем выражение промежуточным аргументом, а функцию - внешней функцией. Это не строгие математические понятия, но они помогают уяснить смысл понятия сложной функции.
Строгое определение понятия сложной функции звучит так:
Пусть функция определена на множестве и - множество значений этой функции. Пусть, множество (или его подмножество) является областью определения функции . Поставим в соответствие каждому из число . Тем самым на множестве будет задана функция . Ее называют композицией функций или сложной функцией.
В этом определении, если пользоваться нашей терминологией, - внешняя функция, - промежуточный аргумент.
Производная сложной функции находится по такому правилу:
Чтобы было более понятно, я люблю записывать это правило в виде такой схемы:
В этом выражении с помощью обозначена промежуточная функция.
Итак. Чтобы найти производную сложной функции, нужно
1. Определить, какая функция является внешней и найти по таблице производных соответствующую производную.
2. Определить промежуточный аргумент.
В этой процедуре наибольшие затруднения вызывает нахождение внешней функции. Для этого используется простой алгоритм:
а. Запишите уравнение функции.
б. Представьте, что вам нужно вычислить значение функции при каком-то значении х. Для этого вы подставляете это значение х в уравнение функции и производите арифметические действия. То действие, которое вы делаете последним и есть внешняя функция.
Например, в функции
Последнее действие - возведение в степень.
Найдем производную этой функции. Для этого запишем промежуточный аргумент
Операция отыскания производной называется дифференцированием.
В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента появились таблица производных и точно определённые правила дифференцирования. Первыми на ниве нахождения производных потрудились Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716).
Поэтому в наше время, чтобы найти производную любой функции, не надо вычислять упомянутый выше предел отношения приращения функции к приращению аргумента, а нужно лишь воспользоваться таблицей производных и правилами дифференцирования. Для нахождения производной подходит следующий алгоритм.
Чтобы найти производную , надо выражение под знаком штриха разобрать на составляющие простые функции и определить, какими действиями (произведение, сумма, частное) связаны эти функции. Далее производные элементарных функций находим в таблице производных, а формулы производных произведения, суммы и частного - в правилах дифференцирования. Таблица производных и правила дифференцирования даны после первых двух примеров.
Пример 1. Найти производную функции
Решение. Из правил дифференцирования выясняем, что производная суммы функций есть сумма производных функций, т. е.
Из таблицы производных выясняем, что производная "икса" равна единице, а производная синуса - косинусу. Подставляем эти значения в сумму производных и находим требуемую условием задачи производную:
Пример 2. Найти производную функции
Решение. Дифференцируем как производную суммы, в которой второе слагаемое с постоянным множителем, его можно вынести за знак производной:
Если пока возникают вопросы, откуда что берётся, они, как правило, проясняются после ознакомления с таблицей производных и простейшими правилами дифференцирования. К ним мы и переходим прямо сейчас.
Таблица производных простых функций
| 1. Производная константы (числа). Любого числа (1, 2, 5, 200...), которое есть в выражении функции. Всегда равна нулю. Это очень важно помнить, так как требуется очень часто | |
| 2. Производная независимой переменной. Чаще всего "икса". Всегда равна единице. Это тоже важно запомнить надолго | |
| 3. Производная степени. В степень при решении задач нужно преобразовывать неквадратные корни. | |
| 4. Производная переменной в степени -1 | |
| 5. Производная квадратного корня | |
| 6. Производная синуса | |
| 7. Производная косинуса |  |
| 8. Производная тангенса |  |
| 9. Производная котангенса |  |
| 10. Производная арксинуса |  |
| 11. Производная арккосинуса |  |
| 12. Производная арктангенса |  |
| 13. Производная арккотангенса |  |
| 14. Производная натурального логарифма | |
| 15. Производная логарифмической функции |  |
| 16. Производная экспоненты | |
| 17. Производная показательной функции |
Правила дифференцирования
| 1. Производная суммы или разности |  |
| 2. Производная произведения |  |
| 2a. Производная выражения, умноженного на постоянный множитель | |
| 3. Производная частного |  |
| 4. Производная сложной функции |  |
Правило 1. Если функции
дифференцируемы в некоторой точке , то в той же точке дифференцируемы и функции
причём
т.е. производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций.
Следствие. Если две дифференцируемые функции отличаются на постоянное слагаемое, то их производные равны , т.е.
Правило 2. Если функции
дифференцируемы в некоторой точке , то в то же точке дифференцируемо и их произведение
причём
т.е. производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой.
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной :
Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные.
Например, для трёх множителей:
Правило 3. Если функции
дифференцируемы в некоторой точке и , то в этой точке дифференцируемо и их частное u/v , причём
т.е. производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя.
Где что искать на других страницах
При нахождении производной произведения и частного в реальных задачах всегда требуется применять сразу несколько правил дифференцирования, поэтому больше примеров на эти производные - в статье "Производная произведения и частного функций " .
Замечание. Следует не путать константу (то есть, число) как слагаемое в сумме и как постоянный множитель! В случае слагаемого её производная равна нулю, а в случае постоянного множителя она выносится за знак производных. Это типичная ошибка, которая встречается на начальном этапе изучения производных, но по мере решения уже нескольких одно- двухсоставных примеров средний студент этой ошибки уже не делает.
А если при дифференцировании произведения или частного у вас появилось слагаемое u "v , в котором u - число, например, 2 или 5, то есть константа, то производная этого числа будет равна нулю и, следовательно, всё слагаемое будет равно нулю (такой случай разобран в примере 10).
Другая частая ошибка - механическое решение производной сложной функции как производной простой функции. Поэтому производной сложной функции посвящена отдельная статья. Но сначала будем учиться находить производные простых функций.
По ходу не обойтись без преобразований выражений. Для этого может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями .
Если Вы ищете решения производных дробей со степенями и корнями,
то есть, когда функция имеет вид вроде 
, то
следуйте на занятие "Производная суммы дробей со степенями и корнями ".
Если же перед Вами задача вроде 
,
то Вам на занятие "Производные простых тригонометрических функций".
Пошаговые примеры - как найти производную
Пример 3. Найти производную функции
Решение. Определяем части выражения функции: всё выражение представляет произведение, а его сомножители - суммы, во второй из которых одно из слагаемых содержит постоянный множитель. Применяем правило дифференцирования произведения: производная произведения двух функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:
Далее применяем правило дифференцирования суммы: производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций. В нашем случае в каждой сумме второе слагаемое со знаком минус. В каждой сумме видим и независимую переменную, производная которой равна единице, и константу (число), производная которой равна нулю. Итак, "икс" у нас превращается в единицу, а минус 5 - в ноль. Во втором выражении "икс" умножен на 2, так что двойку умножаем на ту же единицу как производную "икса". Получаем следующие значения производных:
Подставляем найденные производные в сумму произведений и получаем требуемую условием задачи производную всей функции:
Пример 4. Найти производную функции
Решение. От нас требуется найти производную частного. Применяем формулу дифференцирования частного: производная частного двух функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего числителя. Получаем:
Производную сомножителей в числителе мы уже нашли в примере 2. Не забудем также, что произведение, являющееся вторым сомножителем в числителе в текущем примере берётся со знаком минус:
Если Вы ищете решения таких задач, в которых надо найти производную функции, где
сплошное нагромождение корней и степеней, как, например, 
,
то добро пожаловать на занятие "Производная суммы дробей со степенями и корнями"
.
Если же Вам нужно узнать больше о производных синусов, косинусов, тангенсов и других
тригонометрических функций, то есть, когда функция имеет вид вроде ,
то Вам на урок "Производные простых тригонометрических функций"
.
Пример 5. Найти производную функции
Решение. В данной функции видим произведение, один из сомножителей которых - квадратный корень из независимой переменной, с производной которого мы ознакомились в таблице производных. По правилу дифференцирования произведения и табличному значению производной квадратного корня получаем:
Пример 6. Найти производную функции
Решение. В данной функции видим частное, делимое которого - квадратный корень из независимой переменной. По правилу дифференцирования частного, которое мы повторили и применили в примере 4, и табличному значению производной квадратного корня получаем:
Чтобы избавиться от дроби в числителе, умножаем числитель и знаменатель на .
