Этот метод имеет смысл, если степень многочлена не ниже второй. При этом общим множителем может быть не только двучлен первой степени, но и более высоких степеней.
Чтобы найти общий множитель слагаемых многочлена, необходимо выполнить ряд преобразований. Простейший двучлен или одночлен, который можно вынести за скобки, будет одним из корней многочлена. Очевидно, что в случае, когда многочлен не имеет свободного члена, будет неизвестное в первой степени – многочлена, равный 0.
Более сложным для поиска общего множителя является случай, когда свободный член не равен нулю. Тогда применимы способы простого подбора или группировки. Например, пусть все корни многочлена рациональные, при этом все коэффициенты многочлена – целые числа:y^4 + 3·y³ – y² – 9·y – 18.
Выпишите все целочисленные делители свободного члена. Если у многочлена есть рациональные корни, то они находятся среди них. В результате подбора получаются корни 2 и -3. Значит, общими множителями этого многочлена будут двучлены (y - 2) и (y + 3).
Метод вынесения общего множителя является одним из составляющих разложения на множители. Описанный выше способ применим, если коэффициент при старшей степени равен 1. Если это не так, то сначала необходимо выполнить ряд преобразований. Например:2y³ + 19·y² + 41·y + 15.
Выполните замену вида t = 2³·y³. Для этого умножьте все коэффициенты многочлена на 4:2³·y³ + 19·2²·y² + 82·2·y + 60. После замены: t³ + 19·t² + 82·t + 60. Теперь для поиска общего множителя применим вышеописанный способ.
Кроме того, эффективным методом поиска общего множителя является элементов многочлена. Особенно он полезен, когда первый способ не , т.е. у многочлена нет рациональных корней. Однако группировки не всегда очевидной. Например:У многочлена y^4 + 4·y³ – y² – 8·y – 2 нет целых корней.
Воспользуйтесь группировкой:y^4 + 4·y³ – y² – 8·y – 2 = y^4 + 4·y³ – 2·y² + y² – 8·y – 2 = (y^4 – 2·y²) + (4·y³ – 8·y) + y² – 2 = (y² - 2)*(y² + 4·y + 1).Общий множитель элементов этого многочлена (y² - 2).
Умножение и деление, точно так же, как сложение и вычитание, являются основными арифметическими действиями. Не научившись решать примеры на умножение и деление, человек столкнется со множеством трудностей не только при изучении более сложных разделов математики, но даже и в самых обычных житейских делах. Умножение и деление тесно связаны между собой, и неизвестные компоненты примеров и задач на одно из этих действий вычисляются с помощью другого действия. При этом необходимо четко понимать, что при решении примеров абсолютно все равно, какие именно предметы вы делите или умножаете.
Вам понадобится
- - таблица умножения;
- - калькулятор или лист бумаги и карандаш.
Инструкция
Запишите нужный вам пример. Обозначьте неизвестный множитель как х. Пример может выглядеть, например, так: a*x=b. Вместо множителя а и произведения b в примере могут стоять любые или цифры. Вспомните основное умножения: от перемены мест множителей произведение не меняется. Так что неизвестный множитель х может стоять абсолютно в любом месте.
Для того чтобы найти неизвестный множитель в примере, где сомножителей всего два, необходимо просто разделить произведение на известный множитель . То есть делается это следующим образом: х=b/a. Если вам сложно оперировать абстрактными величинами, попробуйте представить эту задачу в виде конкретных предметов. Вы , у вас всего яблок и сколько их будет есть, но не знаете, по сколько яблок достанется каждому. Например, у вас 5 членов семьи, а яблок получилось 15. Количество яблок, предназначенное каждому, обозначьте как x. Тогда уравнение будет выглядеть так: 5(яблок)*х=15(яблок). Неизвестный множитель находится тем же самым способом, что и в уравнении с буквами, то есть 15 яблок разделите на пятерых членов семьи, в итоге получится, что каждый из них съел по 3 яблока.
Тем же самым способом находится неизвестный множитель при количестве сомножителей. Например, пример выглядит как a*b*c*x*=d. По идее, найти сомножитель можно и так же, как в более постом примере: x=d/a*b*c. Но можно привести уравнение и к более простому виду, обозначив произведение известных сомножителей -нибудь другой буквой - например, m. Найдите, чему равняется m, перемножив числа a,b и с: m=a*b*c. Тогда весь пример можно представить как m*x=d, а неизвестная величина будет равна x=d/m.
Если известный множитель и произведение представляют собой дроби, пример решается точно так же, как и с . Но в этом случае необходимо помнить действий . При умножении дробей числители и знаменатели их перемножаются. При делении дробей числитель делимого умножается на знаменатель делителя, а знаменатель делимого - на числитель делителя. То есть в этом случае пример будет выглядеть так: a/b*x=c/d. Для того чтобы найти неизвестную величину, нужно произведение разделить на известный множитель . То есть x=a/b:c/d =a*d/b*c.
Видео по теме
Обратите внимание
При решении примеров с дробями дробь известного сомножителя можно просто перевернуть и выполнять действие как умножение дробей.
Многочлен - это сумма одночленов. Одночлен же - это произведение нескольких сомножителей, которые являются числом или буквой. Степень неизвестной - это количество ее перемножений на саму себя.
Инструкция
Приведите , если этого еще не сделано. Подобные одночлены - это одночлены одинакового вида, то есть одночлены с одинаковыми неизвестными одинаковой степени.
Возьмите, например, многочлен 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y². В этом многочлене две неизвестных - x и y.
Соедините подобные одночлены. Одночлены со второй степенью y и третьей степенью x придут к виду y²*x³, а одночлены с четвертой степенью y сократятся. Получится y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³.
Примите за главную неизвестную букву y. Найдите максимальную степень при неизвестной y. Это одночлен y²*x³ и, соответственно, степень 2.
Сделайте вывод. Степень многочлена 2*y²*x³+4*y*x+5*x²+3-y²*x³+6*y²*y²-6*y²*y² по x равна трем, а по y равна двум.
Найдите степень многочлена √x+5*y по y. Она равна максимальной степени y, то есть единице.
Найдите степень многочлена √x+5*y по x. Неизвестная x находится , значит ее степень будет дробью. Так как корень квадратный, то степень x равна 1/2.
Сделайте вывод. Для многочлена √x+5*y степень по x равна 1/2, а степень по y равна 1.
Видео по теме
Упрощение алгебраических выражений требуется во многих разделах математики, в том числе при решении уравнений высших степеней, дифференцировании и интегрировании. При этом используется несколько методов, включая разложение на множители. Чтобы применить этот способ, нужно найти и вынести общий множитель за скобки .
Содержимое:
Для сложения или вычитания дробей с разными знаменателями (числа, стоящие под дробной чертой) сначала необходимо найти их наименьший общий знаменатель (НОЗ). Таким числом будет наименьшее кратное, которое встречается в списке кратных каждого знаменателя, то есть число, делящееся нацело на каждый знаменатель. Также вы можете вычислить наименьшее общее кратное (НОК) двух или более знаменателей. В любом случае речь идет о целых числах, методы нахождения которых весьма схожи. Определив НОЗ, вы сможете привести дроби к общему знаменателю, что в свою очередь позволит вам складывать и вычитать их.
Шаги
1 Перечисление кратных
- 1
Перечислите кратные каждого знаменателя.
Составьте список из нескольких кратных для каждого знаменателя в уравнении. Каждый список должен состоять из произведения знаменателя на 1, 2, 3, 4 и так далее.
- Пример: 1/2 + 1/3 + 1/5
- Кратные 2: 2 * 1 = 2; 2 * 2 = 4; 2 * 3 = 6; 2 * 4 = 8; 2 * 5 = 10; 2 * 6 = 12; 2 * 7 = 14; и так далее.
- Кратные 3: 3 * 1 = 3; 3 * 2 = 6; 3 *3 = 9; 3 * 4 = 12; 3 * 5 = 15; 3 * 6 = 18; 3 * 7 = 21; и так далее.
- Кратные 5: 5 * 1 = 5; 5 * 2 = 10; 5 * 3 = 15; 5 * 4 = 20; 5 * 5 = 25; 5 * 6 = 30; 5 * 7 = 35; и так далее.
- 2
Определите наименьшее общее кратное.
Просмотрите каждый список и отметьте любые кратные числа, которые являются общими для всех знаменателей. После выявления общих кратных определите наименьший знаменатель.
- Обратите внимание, что если общий знаменатель не найден, возможно, потребуется продолжить выписывать кратные до тех пор, пока не появится общее кратное число.
- Лучше (и легче) пользоваться этим методом в том случае, когда в знаменателях стоят небольшие числа.
- В нашем примере общим кратным всех знаменателей является число 30: 2 * 15 = 30 ; 3 * 10 = 30 ; 5 * 6 = 30
- НОЗ = 30
- 3
Для того чтобы привести дроби к общему знаменателю, при этом не изменив их значения, умножьте каждый числитель (число, стоящее над дробной чертой) на число, равное частному от деления НОЗ на соответствующий знаменатель.
- Пример: (15/15) * (1/2); (10/10) * (1/3); (6/6) * (1/5)
- Новое уравнение: 15/30 + 10/30 + 6/30
- 4
Решите полученное уравнение.
После нахождения НОЗ и изменения соответствующих дробей, просто решите полученное уравнение. Не забудьте упростить полученный ответ (если это возможно).
- Пример: 15/30 + 10/30 + 6/30 = 31/30 = 1 1/30
2 Использование наибольшего общего делителя
- 1
Перечислите делители каждого знаменателя.
Делитель – это целое число, которое делит нацело данное число. Например, делителями числа 6 являются числа 6, 3, 2, 1. Делителем любого числа является 1, потому что любое число делится на единицу.
- Пример: 3/8 + 5/12
- Делители 8: 1, 2, 4 , 8
- Делители 12: 1, 2, 3, 4 , 6, 12
- 2
Найдите наибольший общий делитель (НОД) обоих знаменателей.
Перечислив делители каждого знаменателя, отметьте все общие делители. Самый большой общий делитель является наибольшим общим делителем, который понадобится вам для решения задачи.
- В нашем примере общими делителями для знаменателей 8 и 12 являются числа 1, 2, 4.
- НОД = 4.
- 3
Перемножьте знаменатели между собой.
Если вы хотите использовать НОД для решения задачи, сначала перемножьте знаменатели между собой.
- Пример: 8 * 12 = 96
- 4
Разделите полученное значение на НОД.
Получив результат перемножения знаменателей, разделите его на вычисленный вами НОД. Полученное число будет наименьшим общим знаменателем (НОЗ).
- Пример: 96 / 4 = 24
- 5
- Пример: 24 / 8 = 3; 24 / 12 = 2
- (3/3) * (3/8) = 9/24; (2/2) * (5/12) = 10/24
- 9/24 + 10/24
- 6
Решите полученное уравнение.
- Пример: 9/24 + 10/24 = 19/24
3 Разложение каждого знаменателя на простые множители
- 1
Разложите каждый знаменатель на простые множители.
Разложите каждый знаменатель на простые множители, то есть простые числа, которые при перемножении дают исходный знаменатель. Напомним, что простые множители – это числа, которые делятся только на 1 или самих себя.
- Пример: 1/4 + 1/5 + 1/12
- Простые множители 4: 2 * 2
- Простые множители 5: 5
- Простые множители 12: 2 * 2 * 3
- 2
Подсчитайте число раз каждый простой множитель есть у каждого знаменателя.
То есть определите, сколько раз каждый простой множитель появляется в списке множителей каждого знаменателя.
- Пример: Есть две 2 для знаменателя 4; нуль 2 для 5; две 2 для 12
- Есть нуль 3 для 4 и 5; одна 3 для 12
- Есть нуль 5 для 4 и 12; одна 5 для 5
- 3
Возьмите только наибольшее число раз для каждого простого множителя.
Определите наибольшее число раз наличия каждого простого множителя в любом знаменателе.
- Например: наибольшее число раз для множителя 2 - 2 раза; для 3 – 1 раз; для 5 – 1 раз.
- 4
Запишите по порядку найденные в предыдущем шаге простые множители.
Не записывайте число раз наличия каждого простого множителя во всех исходных знаменателях – делайте это с учетом наибольшего числа раз (как описано в предыдущем шаге).
- Пример: 2, 2, 3, 5
- 5
Перемножьте эти числа.
Результат произведения этих чисел равен НОЗ.
- Пример: 2 * 2 * 3 * 5 = 60
- НОЗ = 60
- 6
Разделите НОЗ на исходный знаменатель.
Для вычисления множителя, который требуется для приведения дробей к общему знаменателю, разделите найденный вами НОЗ на исходный знаменатель. Умножьте числитель и знаменатель каждой дроби на этот множитель. Вы получите дроби с общим знаменателем.
- Пример: 60/4 = 15; 60/5 = 12; 60/12 = 5
- 15 * (1/4) = 15/60; 12 * (1/5) = 12/60; 5 * (1/12) = 5/60
- 15/60 + 12/60 + 5/60
- 7
Решите полученное уравнение.
НОЗ найден; теперь вы можете сложить или вычесть дроби. Не забудьте упростить полученный ответ (если это возможно).
- Пример: 15/60 + 12/60 + 5/60 = 32/60 = 8/15
4 Работа со смешанными числами
- 1
Преобразуйте каждое смешанное число в неправильную дробь.
Для этого умножьте целую часть смешанного числа на знаменатель и сложите с числителем – это будет числитель неправильной дроби. Целое число тоже превратите в дробь (просто поставьте 1 в знаменателе).
- Пример: 8 + 2 1/4 + 2/3
- 8 = 8/1
- 2 1/4, 2 * 4 + 1 = 8 + 1 = 9; 9/4
- Переписанное уравнение: 8/1 + 9/4 + 2/3
- 2
Найти наименьший общий знаменатель.
Вычислите НОЗ любым способом, описанным в предыдущих разделах. Для этого примера мы будем использовать метод "перечисление кратных", в котором выписываются кратные каждого знаменателя и на их основе вычисляется НОЗ.
- Обратите внимание, что вам не нужно перечислять кратные для 1 , так как любое число, умноженное на 1 , равно самому себе; иными словами, каждое число является кратным 1 .
- Пример: 4 * 1 = 4; 4 * 2 = 8; 4 * 3 = 12 ; 4 * 4 = 16; т.д.
- 3 * 1 = 3; 3 * 2 = 6; 3 * 3 = 9; 3 * 4 = 12 ; т.д.
- НОЗ = 12
- 3
Перепишите исходное уравнение.
Числители и знаменатели исходных дробей умножьте на число, равное частному от деления НОЗ на соответствующий знаменатель.
- Например: (12/12) * (8/1) = 96/12; (3/3) * (9/4) = 27/12; (4/4) * (2/3) = 8/12
- 96/12 + 27/12 + 8/12
- 4
Решите уравнение.
НОЗ найден; теперь вы можете сложить или вычесть дроби. Не забудьте упростить полученный ответ (если это возможно).
- Пример: 96/12 + 27/12 + 8/12 = 131/12 = 10 11/12
Что вам понадобится
- Карандаш
- Бумага
- Калькулятор (по желанию)
Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо: 1) найти наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей, оно и будет наименьшим общим знаменателем. 2) найти для каждой из дробей дополнительный множитель, для чего делить новый знаменатель на знаменатель каждой дроби. 3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
Примеры. Привести следующие дроби к наименьшему общему знаменателю.
Находим наименьшее общее кратное знаменателей: НОК(5; 4)=20, так как 20 — самое меньшее число, которое делится и на 5 и на 4. Находим для 1-й дроби дополнительный множитель 4 (20: 5=4). Для 2-й дроби дополнительный множитель равен 5 (20: 4=5). Умножаем числитель и знаменатель 1-й дроби на 4, а числитель и знаменатель 2-й дроби на 5. Мы привели данные дроби к наименьшему общему знаменателю (20 ).
Наименьший общий знаменатель этих дробей — число 8, так как 8 делится на 4 и на само себя. Дополнительного множителя к 1-й дроби не будет (или можно сказать, что он равен единице), ко 2-й дроби дополнительный множитель равен 2 (8: 4=2). Умножаем числитель и знаменатель 2-й дроби на 2. Мы привели данные дроби к наименьшему общему знаменателю (8 ).
Данные дроби не являются несократимыми.
Сократим 1-ю дробь на 4, а 2-ю дробь сократим на 2. (см. примеры на сокращение обыкновенных дробей: Карта сайта → 5.4.2. Примеры сокращения обыкновенных дробей ). Находим НОК(16; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. Дополнительный множитель для 1-й дроби равен 5 (80: 16=5). Дополнительный множитель для 2-й дроби равен 4 (80: 20=4). Умножаем числитель и знаменатель 1-й дроби на 5, а числитель и знаменатель 2-й дроби на 4. Мы привели данные дроби к наименьшему общему знаменателю (80 ).
Находим наименьший общий знаменатель НОЗ(5; 6 и 15)=НОК(5; 6 и 15)=30. Дополнительный множитель к 1-й дроби равен 6 (30: 5=6), дополнительный множитель ко 2-й дроби равен 5 (30: 6=5), дополнительный множитель к 3-ей дроби равен 2 (30: 15=2). Умножаем числитель и знаменатель 1-й дроби на 6, числитель и знаменатель 2-й дроби на 5, числитель и знаменатель 3-ей дроби на 2. Мы привели данные дроби к наименьшему общему знаменателю (30 ).
Страница 1 из 1 1
Большинство действий с алгебраическими дробями, такие, например, как сложение и вычитание, требуют предварительного приведения этих дробей к одинаковым знаменателям. Такие знаменатели также часто обозначаются словосочетанием «общий знаменатель». В данной теме мы рассмотрим определение понятий «общий знаменатель алгебраических дробей» и «наименьший общий знаменатель алгебраических дробей (НОЗ)», рассмотрим по пунктам алгоритм нахождения общего знаменателя и решим несколько задач по теме.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Общий знаменатель алгебраических дробей
Если говорить про обыкновенные дроби, то общим знаменателем является такое число, которое делится на любой из знаменателей исходных дробей. Для обыкновенных дробей 1 2 и 5 9 число 36 может быть общим знаменателем, так как без остатка делится на 2 и на 9 .
Общий знаменатель алгебраических дробей определяется похожим образом, только вместо чисел используются многочлены, так как именно они стоят в числителях и знаменателях алгебраической дроби.
Определение 1
Общий знаменатель алгебраической дроби – это многочлен, который делится на знаменатель любой из дробей.
В связи с особенностями алгебраических дробей, речь о которых пойдет ниже, мы чаще будем иметь дело с общими знаменателями, представленными в виде произведения, а не в виде стандартного многочлена.
Пример 1
Многочлену, записанному в виде произведения 3 · x 2 · (x + 1) , соответствует многочлен стандартного вида 3 · x 3 + 3 · x 2 . Этот многочлен может быть общим знаменателем алгебраических дробей 2 x , - 3 · x · y x 2 и y + 3 x + 1 , в связи с тем, что он делится на x , на x 2 и на x + 1 . Информация о делимости многочленов есть в соответствующей теме нашего ресурса.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ)
Для заданных алгебраических дробей количество общих знаменателей может быть бесконечное множество.
Пример 2
Возьмем для примера дроби 1 2 · x и x + 1 x 2 + 3 . Их общим знаменателем является 2 · x · (x 2 + 3) , как и − 2 · x · (x 2 + 3) , как и x · (x 2 + 3) , как и 6 , 4 · x · (x 2 + 3) · (y + y 4) , как и − 31 · x 5 · (x 2 + 3) 3 , и т.п.
При решении задач можно облегчить себе работу, используя общий знаменатель, который среди всего множества знаменателей имеет самый простой вид. Такой знаменатель часто обозначается как наименьший общий знаменатель.
Определение 2
Наименьший общий знаменатель алгебраических дробей – это общий знаменатель алгебраических дробей, который имеет самый простой вид.
К слову, термин «наименьший общий знаменатель» не является общепризнанным, потому лучше ограничиваться термином «общий знаменатель». И вот почему.
Ранее мы сфокусировали ваше внимание на фразе «знаменатель самого простого вида». Основной смысл этой фразы следующий: на знаменатель самого простого вида должен без остатка делиться любой другой общий знаменатель данных в условии задачи алгебраических дробей. При этом в произведении, которое является общим знаменателем дробей, можно использовать различные числовые коэффициенты.
Пример 3
Возьмем дроби 1 2 · x и x + 1 x 2 + 3 . Мы уже выяснили, что проще всего работать нам будет с общим знаменателем вида 2 · x · (x 2 + 3) . Также общим знаменателем для этих двух дробей может быть x · (x 2 + 3) , который не содержит числового коэффициента. Вопрос в том, какой из этих двух общих знаменателей считать наименьшим общим знаменателем дробей. Однозначного ответа нет, потому правильнее говорить просто об общем знаменателе, а в работу брать тот вариант, с которым работать будет удобнее всего. Так, мы можем использовать и такие общие знаменатели как x 2 · (x 2 + 3) · (y + y 4) или − 15 · x 5 · (x 2 + 3) 3 , которые имеют более сложный вид, но проводить с ними действия может быть сложнее.
Нахождение общего знаменателя алгебраических дробей: алгоритм действий
Предположим, что у нас имеется несколько алгебраических дробей, для которых нам необходимо отыскать общий знаменатель. Для решения этой задачи мы можем использовать следующий алгоритм действий. Сначала нам необходимо разложить на множители знаменатели исходных дробей. Затем мы составляем произведение, в которое последовательно включаем:
- все множители из знаменателя первой дроби вместе со степенями;
- все множители, присутствующие в знаменателе второй дроби, но которых нет в записанном произведении или их степень недостаточно;
- все недостающие множители из знаменателя третьей дроби, и так далее.
Полученное произведение и будет общим знаменателем алгебраических дробей.
В качестве множителей произведения мы можем взять все знаменатели дробей, данных в условии задачи. Однако множитель, который мы получим в итоге, по смыслу будет далек от НОЗ и использование его будет иррациональным.
Пример 4
Определите общий знаменатель дробей 1 x 2 · y , 5 x + 1 и y - 3 x 5 · y .
Решение
В данном случае у нас нет необходимости раскладывать знаменатели исходных дробей на множители. Потому начнем применять алгоритм с составления произведения.
Из знаменателя первой дроби возьмем множитель x 2 · y , из знаменателя второй дроби множитель x + 1 . Получаем произведение x 2 · y · (x + 1) .
Знаменатель третьей дроби может дать нам множитель x 5 · y , однако в составленном нами ранее произведении уже есть множители x 2 и y . Следовательно, добавляем еще x 5 − 2 = x 3 . Получаем произведение x 2 · y · (x + 1) · x 3 , которое можно привести к виду x 5 · y · (x + 1) . Это и будет наш НОЗ алгебраических дробей.
Ответ: x 5 · y · (x + 1) .
Теперь рассмотрим примеры задач, когда в знаменателях алгебраических дробей есть целые числовые множители. В таких случаях мы также действуем по алгоритму, предварительно разложив целые числовые множители на простые множители.
Пример 5
Найдите общий знаменатель дробей 1 12 · x и 1 90 · x 2 .
Решение
Разложив числа в знаменателях дробей на простые множители, получаем 1 2 2 · 3 · x и 1 2 · 3 2 · 5 · x 2 . Теперь мы можем перейти к составлению общего знаменателя. Для этого из знаменателя первой дроби возьмем произведение 2 2 · 3 · x и добавим к нему множители 3 , 5 и x из знаменателя второй дроби. Получаем 2 2 · 3 · x · 3 · 5 · x = 180 · x 2 . Это и есть наш общий знаменатель.
Ответ: 180 · x 2 .
Если внимательно посмотреть на результаты двух разобранных примеров, то можно заметить, что общие знаменатели дробей содержат все множители, присутствующие в разложениях знаменателей, причем если некоторый множитель имеется в нескольких знаменателях, то он берется с наибольшим из имеющихся показателей степени. А если в знаменателях имеются целые коэффициенты, то в общем знаменателе присутствует числовой множитель, равный наименьшему общему кратному этих числовых коэффициентов.
Пример 6
В знаменателях обеих алгебраических дробей 1 12 · x и 1 90 · x 2 есть множитель x . Во втором случае множитель x возведен в квадрат. Для составления общего знаменателя это множитель нам необходимо взять в наибольшей степени, т.е. x 2 . Других множителей с переменными нет. Целые числовые коэффициенты исходных дробей 12 и 90 , а их наименьшее общее кратное равно 180 . Получается, что искомый общий знаменатель имеет вид 180 · x 2 .
Теперь мы можем записать еще один алгоритм нахождения общего множителя алгебраических дробей. Для этого мы:
- раскладываем знаменатели всех дробей на множители;
- составляем произведение всех буквенных множителей (при наличии множителя в нескольких разложениях, берем вариант с наибольшим показателем степени);
- добавляем НОК числовых коэффициентов разложений к полученному произведению.
Приведенные алгоритмы равноценны, так что использовать в решении задач можно любой из них. Важно уделять внимание деталям.
Встречаются случаи, когда общие множители в знаменателях дробей могут быть незаметны за числовыми коэффициентами. Здесь целесообразно сначала вынести числовые коэффициенты при старших степенях переменных за скобки в каждом из множителей, имеющихся в знаменателе.
Пример 7
Какой общий знаменатель имеют дроби 3 5 - x и 5 - x · y 2 2 · x - 10 .
Решение
В первом случае за скобки необходимо вынести минус единицу. Получаем 3 - x - 5 . Умножаем числитель и знаменатель на - 1 для того, чтобы избавиться от минуса в знаменателе: - 3 x - 5 .
Во втором случае за скобку выносим двойку. Это позволяет нам получить дробь 5 - x · y 2 2 · x - 5 .
Очевидно, что общий знаменатель данных алгебраических дробей - 3 x - 5 и 5 - x · y 2 2 · x - 5 это 2 · (x − 5) .
Ответ: 2 · (x − 5) .
Данные в условии задачи дроби могут иметь дробные коэффициенты. В этих случаях необходимо сначала избавиться от дробных коэффициентов путем умножения числителя и знаменателя на некоторое число.
Пример 8
Упростите алгебраические дроби 1 2 · x + 1 1 14 · x 2 + 1 7 и - 2 2 3 · x 2 + 1 1 3 , после чего определите их общий знаменатель.
Решение
Избавимся от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель в первом случае на 14 , во втором случае на 3 . Получаем:
1 2 · x + 1 1 14 · x 2 + 1 7 = 14 · 1 2 · x + 1 14 · 1 14 · x 2 + 1 7 = 7 · x + 1 x 2 + 2 и - 2 2 3 · x 2 + 1 1 3 = 3 · - 2 3 · 2 3 · x 2 + 4 3 = - 6 2 · x 2 + 4 = - 6 2 · x 2 + 2 .
После проведенных преобразований становится понятно, что общий знаменатель – это 2 · (x 2 + 2) .
Ответ: 2 · (x 2 + 2) .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Знаменателем арифметической дроби a / b называют число b, показывающее размеры долей единицы, из которых составлена дробь. Знаменателем алгебраической дроби A / B называют алгебраическое выражение B. Для выполнения арифметических действий с дробями их необходимо привести к наименьшему общему знаменателю.
Вам понадобится
- Для работы с алгебраическими дробями при нахождении наименьшего общего знаменателя необходимо знать методы разложения многочленов на множители.
Инструкция
Рассмотрим приведение к наименьшему общему знаменателю двух арифметических дробей n/m и s/t, где n, m, s, t – целые числа. Понятно, что эти две дроби можно привести к любому знаменателю, делящемуся на m и на t. Но стараются привести к наименьшему общему знаменателю. Он равен наименьшему общему кратному знаменателей m и t данных дробей. Наименьшее кратное (НОК) чисел – это наименьшее , делящееся одновременно на все заданные числа. Т.е. в нашем случае необходимо найти наименьшее общее кратное чисел m и t. Обозначается как НОК (m, t). Далее дроби умножаются на соответствующие : (n/m) * (НОК (m, t) / m), (s/t) * (НОК (m, t) / t).
Приведем нахождения наименьшего общего знаменателя трех дробей: 4/5, 7/8, 11/14. Для начала разложим знаменатели 5, 8, 14 : 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Далее вычисляем НОК (5, 8, 14), перемножая все числа, входящие хотя бы в одно из разложений. НОК (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Заметим, что если множитель встречается в разложении нескольких чисел (множитель 2 в разложении знаменателей 8 и 14), то берем множитель в большей степени (2^3 в нашем случае).
Итак, общий получен. Он равен 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Здесь мы получаем числа, на которые надо умножить дроби с соответствующими знаменателями, чтобы привести их к наименьшему общему знаменателю. Получаем 4/5 = 56 * (4/5) = 224 / 280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.
Приведение к наименьшему общему знаменателю алгебраических дробей выполняется по аналогии с арифметическими . Для наглядности рассмотрим задачу на примере. Пусть даны две дроби (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) и (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1). Разложим на множители оба знаменателя. Заметим, что знаменатель первой дроби представляет собой полный квадрат: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. Для
