Прямоугольный параллелепипед
Прямоугольный параллелепипед – это такой прямой параллелепипед, у которого все грани являются прямоугольниками.
Достаточно посмотреть вокруг себя, и мы увидим, что окружающие нас предметы имеют форму похожую на параллелепипед. Они могут отличать по цвету, иметь массу дополнительных деталей, но если эти тонкости отбросить, то можно сказать, что например шкаф, коробка и т.д., имеют приблизительно одинаковую форму.
С понятием прямоугольного параллелепипеда мы сталкиваемся практически каждый день! Оглянитесь вокруг и скажите, где вы видите прямоугольные параллелепипеды? Посмотрите на книгу, ведь она как раз такой формы! Эту же форму имеют кирпич, спичечный коробок, деревянный брусок, и даже прямо сейчас вы находитесь внутри прямоугольного параллелепипеда, ведь классная комната – это ярчайшая интерпретация этой геометрической фигуры.
Задание: А какие примеры параллелепипеда вы можете назвать?
Давайте более тщательно рассмотрим прямоугольный параллелепипед. И что мы видим?
Во-первых, мы видим, что эта фигура образована из шести прямоугольников, которые являются гранями прямоугольного параллелепипеда;
Во-вторых, прямоугольный параллелепипед имеет восемь вершин и двенадцать ребер. Ребра прямоугольного параллелепипеда – это стороны его граней, а вершины параллелепипеда являются вершинами граней.
Задание:
1. Какое название носит каждая из граней прямоугольного параллелепипеда? 2. Благодаря каким параметрам можно измерить параллелограмм? 3. Дайте определение противоположных граней.
Виды параллелепипедов
Но параллелепипеды бывают не только прямоугольными, но также они могут¬¬ быть прямыми и наклонными, а прямые как раз таки и делятся на прямоугольные, непрямоугольные и кубы.
Задание: Посмотрите на картинку и скажите, какие параллелепипеды на ней изображены. Чем прямоугольный параллелепипед отличается от куба?
Свойства прямоугольного параллелепипеда
Прямоугольный параллелепипед обладаем рядом важнейших свойств:
Во-первых, квадрат диагонали этой геометрической фигуры равняется сумме квадратов трех его основных параметров: высоты, ширины и длины.
Во-вторых, все его четыре диагонали абсолютно идентичны.
В-третьих, если все три параметра параллелепипеда одинаковы, то есть длина, ширина и высота равны, то такой параллелепипед называют кубом, и все его грани будут равны одному и тому же квадрату.
Задание
1. Имеет ли прямоугольный параллелепипед равные грани? Если таковы имеются, то покажите их на рисунке. 2. Из каких геометрических форм состоят грани прямоугольного параллелепипеда? 3. Какое расположение имеют равные грани по отношению друг к другу? 4. Назовите количество пар равных граней данной фигуры. 5. Найдите в прямоугольном параллелепипеде ребра, которые обозначают его длину, ширину, высоту. Сколько вы их насчитали?
Задача
Чтобы красиво оформить подарок на день Рождения маме, Таня взяла коробку в форме прямоугольного параллелепипеда. Размер данной коробки 25см*35см*45см. Чтобы сделать эту упаковку красивой, Таня решила, оклеит ее красивой бумагой, стоимость которой 3 гривны за 1 дм2. Сколько нужно потратить денег на упаковочную бумагу?
А вы знаете, что известный иллюзионист Девид Блейн в рамках эксперимента провел 44 дня в стеклянном параллелепипеде, подвешенном над Темзой. Эти 44 дня он не ел, а только пил воду. В свое добровольное узилище Девид взял только письменные принадлежности, подушку и матрас и носовые платки.
Ход урокаПеред началом занятия учитель проверяет готовность учеников к уроку: готовность
доски, порядок на партах наличие тетрадей. Сбор тетрадей осуществляется перед уроком.
I Мотивационно - ориентировочныйэтап
Проверка домашнего здания. Актуализация.10 мин
Готовность к уроку. Проверка наличияпринадлежностей, необходимых к уроку.
- Какая фигура изображена на рисунке?
Прямоугольник АВСD.
- Назовите элементы прямоугольника АВСD.
- Вершины A,B,C,D; стороны: AB, BC, CD, AD
- Верны ли следующие утверждения:
1. У прямоугольника 4 вершины и 4 стороны.
2. Каждая сторона прямоугольника - это прямая, авершина - это точка.
3. У прямоугольника все стороны равны.
Как называется прямоугольник, у которого все стороныравны?
4. В прямоугольнике противоположные стороны равны. Привести пример противоположных сторон.
- 1.Верно.
2.Неверно. Каждая сторона прямоугольника - этоотрезок, а вершина - это точка.
3. Неверно. Частный случай.
Квадрат.
4. Верно. Противоположные стороны: АВ и DC, AD и BC.
- Составьте задачу по рисунку.
Как вычислить площадь прямоугольника?
- Чтобы найти площадьпрямоугольника нужно длину умножить на ширину.
- Запишите формулу вычисления площади прямоугольника.
- S= ab
- Задание.
Устно найдите неизвестный компонент в таблице. Первая строка площадь
прямоугольника, вторая и третья строка - это стороны прямоугольника. В
соответствии с ключом, для каждого полученного ответа подставьте нужную букву.
Вычисление производится фронтально в классе. Поочередно ученики производят вычисления в таблице и вписывают верный ответ.
- Какое мы слово получили?
- Параллелепипед.
- Что же это такое?
- Это объемноегеометрическое тело.
- Данные тела разбиты на две группы: верхние 4 тела инижние. По какому принципу они разбитына два вида? Что общего среди тел каждой группы?
Верхние тела состоят измногоугольников, а нижние тела круглые. В верхней группе каждое тело состоит из многоугольников, а нижняя группа, одним из элементов является круг.
- В мире нас окружают множество предметов. Ониотличаются формой, размерами, материалами, из которых они изготовлены, окраской… Людей интересуют разные качества этих предметов. Математиков интересуют их форма и размеры. Среди множества геометрических тел есть две большие группы: многогранники и круглые тела.
Слово, которое мы получили - параллелепипед,означает объемное тело, которое является одним из видов многогранников.
- Какие из данных многогранников являются параллелепипедом?
- Тела А, В
- Что отличает их от оставшихся многогранников?
- Грани прямоугольники.
- Приведите примеры объектов из окружающего мира,которые имеют форму прямоугольногопараллелепипеда?
- Учебник, каркас дома,класс, коробка.
- Изучение пространственных тел происходит в 10классе, с вами мы будем изучать раздел геометрии - стереометрия, но в 5 классе
мы уже можем дать некоторые первоначальные сведения об объемных фигурах,
познакомиться с его элементами и некоторыми свойствами.
Какая цель сегодняшнего урока?
- Познакомиться с элементами, из которых состоитпрямоугольный параллелепипед.
Операционо - познавательный этап.
20 минут
1. Запишемтему урока в тетрадях.
Число, классная работа и тема урока.
2. Перед нами несколько моделей прямоугольногопараллелепипеда: модель из дерева, а также каркасная модель. На данных моделях хорошо видны элементы прямоугольного параллелепипеда.
Показать грани, ребра, вершины параллелепипеда на модели.
Данных компонентов определенное число. Давайсосчитаем сколько их. Заполним таблицу.
Учитель вызывает к доске учеников для подсчетаколичества вершин, ребер и граней.
Параллельно заполняется таблица
(заполняются первые два столбца):
- Итак, как мы знаем любую точку в пространстве и на плоскости мы можем обозначить латинской буквой алфавита.
Перед вами изображениепрямоугольного параллелепипеда. Каждую вершину обозначили латинской буквой. Перечисляя
латинские буквы, мы обозначаем данныйпараллелепипед. Кто мне скажет, как обозначается данный параллелепипед?
- ABCDKLMN
- Задание.
1. первый ряд выписывает обозначение вершин;
2. второй обозначение ребер;
3. третий ряд - обозначение граней.
Для предоставления результатов ученики выходят кдоске парой. Один зачитывает элементы, второй их показывает на чертеже.
Если требуется дополнение, учитель обращается к другим группам.
- Найдите для параллелепипеда равные ребра.
- АВ= DC = MN = KL
AK = BL = CM =DN
AD = BC = LM =KN
Ученики записывают себе в тетрадь.
- У каждой группы равных ребер есть названия.
АВ = DC= MN= KL - ширина
AK= BL= CM= DN - длина
AD= BC= LM= KN - высота
- Возможно ли равенство всех трех измерений?
- Да.
- Какую фигуру мы получаем?
- Куб.
- С самого раннего детства знакома нам такая фигуракак куб.
В чем же отличия куба от общего вида прямоугольного параллелепипеда?
- У куба все ребра равны. Все грани являются квадратами.
- Какие грани будут равны у параллелепипеда ABCDEFGH.
Одновременно идет показ на слайдах.
- ABСD = KLMN
ADNK= BCML
ABFE= DCGH
- Как взаимно расположены относительно друг другаданные грани.
- Они лежат напротив друг друга.
- Такие грани называют противоположными друг другу.
Какой вывод можно сделать из выше сказанного.
- Противоположные грани прямоугольного параллелепипеда равны.
И на слайде и на модели равные грани выделены однимцветом.
- Откроемучебник на странице 121,
№ 792.
Что такое площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда?
- Сумма площадей его граней.
- Сколько граней у параллелепипеда?
- 6
- Какими геометрическими фигурами являются данные грани?
- Прямоугольники.
- Как вычислить площадь каждой грани?
- Найти произведение измерений для каждой грани параллелепипеда.
- Каким свойством обладают грани параллелепипеда?
- Противоположные грани равны.
- Поэтому площадь мы будем находить лишь у трех граней.
- Чему равны измерения первой грани?
- 5 см и 6 см 5∙6=30
см
2
- Чему равны измерения второй грани?
Вычислите площадь данной грани.
- 5 см и 3 см 5∙3=15
см
2
- Чему равны измерения третьей грани?
Вычислите площадь данной грани.
- 3см и 6 см 6∙3=18
см
2
- 2∙30+2∙15+2∙18=126
см
2
- Как записать выражением площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда?
№ 796(б) - Напишите формулу для вычисления площадиповерхности прямоугольного параллелепипеда.
- Измерения первой грани a и b
S=a∙b
Измерения второй грани b и c
S=b∙c
Измерения третьей грани a и c
S=a∙c
S=2∙ab+2∙bc+2∙ac
- Итак, мы вывели формулу по которой легко найти площадь поверхности прямоугольногопараллелепипеда, зная его измерения.
Задача:
Мальчик хочет упаковать приготовленный маме к Новому году подарок в коробку, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда, размеры которой 20 см
*30см
×40 см
.Эту коробку он решил со всех сторон оклеить цветной бумагой, 1 дм 2 которой стоит 8 рублей. На покупку нужного количества бумаги мальчик рассчитывает потратить 450 рублей. Хватит ли ему денег для этого?
- Сначала найдем площадь поверхности параллелепипеда.
S=2∙ab+2∙bc+2∙ac
1) 2∙20∙30+2∙30∙40+2∙20∙40=1200+2400+1600=5200
см 2 - площадь поверхности параллелепипеда.
2) 5200
см
2
=52
дм
2
3) 52∙8=416
(руб) - потребуется на покупку.
Ответ: Мальчик смеломожет отправиться за цветной бумагой.
III Рефлексивно - оценочный этап
Сначала мы запишем домашнее задание, а затем подведем итоги нашего занятия.
§4,
пункт 20, стр 121 №
811,812, 814, 817.
Четкие рекомендации к выполнению каждого номера.
- Какова была цель нашего урока?
- Изучить компоненты и свойства прямоугольного параллелепипеда.
- Достигли ли мы данной цели?
- Да, достигли.
- Назовите объекты из окружающего мира, имеющие формупрямоугольного параллелепипеда.
- Дома, класс, кирпич и т.д.
- Какие элементы мы выделили у прямоугольного параллелепипеда?
- Вершины, ребра и грани.
- Сколько вершин, ребер и граней у прямоугольного параллелепипеда?
- Вершин - 8; ребер - 12; граней - 6.
- Назовите измерения параллелепипеда.
- Длина, ширина, высота.
- Назовите свойство граней параллелепипеда.
- Противоположные грани параллелепипеда равны.
- Как найти площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда.
- Нужно сложить площади граней параллелепипеда.
- Зачем нам находить площадь боковой поверхности параллелепипеда?
- В практических целях. Например чтобы оклеить коробку бумагой, покрасить комнату, поклеить в комнате обои.
- Итак, урок окончен, нопоставьте себе в тетрадь оценку за работу на уроке, и добавьте к этой оценке +
- если урок был для вас интересным;
- если урок был скучным.
Спасибо за внимание!
ПОВТОРЯЕМ ТЕОРИЮ
260. Заполните теорию.
1) Каждая грань прямоугольного параллелепипеда является прямоугольником
.
2) Сторона граней прямоугольного параллелепипеда называют ребрами
, вершины граней - вершинами прямоугольного параллелепипеда
.
3) У параллелепипеда 6
граней, 12
ребер, 8
вершин.
4) Грани прямоугольного параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называют противолежащими
.
5) Противолежащие грани прямоугольного параллелепипеда равны
.
6) Площадью поверхности параллелепипеда называют сумму площадей его граней
.
7) Длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют измерениями
прямоугольного параллелепипеда.
8) Чтобы различать измерения прямоугольного параллелепипеда, пользуюятся названиями: длина, ширина и высота.
9) Кубом называют прямоугольный параллелепипед, у которого все измерения равны
.
10) Поверхность куба состоит из шести равных квадратов
.
РЕШАЕМ ЗАДАЧИ
261. На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед ABCDMKEF. Заполните пропуски.
1) Вершина В принадлежит граням АМКВ, АВСD, КВСЕ
.
2) Ребру ЕF равны ребра КМ, АВ, СD
.
3) Верхняя грань параллелепипеда - прямоугольник МКЕF
.
4) Ребро DF является общим ребром граней АМFD
и FЕСD
.
5) Грани АМКВ равна грань FЕСD
.
262. Вычислите площадь поверхности куба и ребром 6 см.
Решение
:
Площадь одной грани равна
6 2 -6*6 = 36 (см 2)
Площадь повехности равна
6*36 = 216 (см 2)
Ответ : Площадь поверхности равна 216 см 2 .
263. На рисунке изображен прямоугольный параллелепипед MNKPEFCD, измерения которого равны 8 см, 5 см и 3 см. Вычислите сумму длин всех его ребер и площадь поверхности.
Решение
:
Сумма ребер
4*(8+5+3) = 64 (см)
Площадь поверхности равна:
2*(8*3+8*5+5*3) = 158 (см 2)
Ответ : сумма длин всех его ребер равна 64 см, площадь поверхности - 158 см 2 .
264. Заполните пропуски.
1) Поверхность пирамиды состоит из боковых граней
- треугольников, имеющих общую вершину
и основание
.
2) Общую вершину боковых граней называют вершиной пирамиды
.
3) Стороны основания пирамиды называют ребрами основания
, а стороны боковых граней, не принадлежащие основанию, - боковыми ребрами
.
265. На рисунке изображена пирамида SABCDE. Заполните пропуски.
1) На рисунке изображена 5
угольная пирамида.
2) Боковыми гранями пирамиды являются треугольники SAB, SBC, SCD, SDE, SEA
, а основанием - 5
угольник, ABCDE
.
3) Вершиной пирамиды является точка S
.
4) Ребрами основания пирамиды являются отрезки AB, BC, CD, DE, EA
, боковыми ребрами - отрезки SA, SB, SC, SD, SE
.
266. На рисунке изображена пирамида DАВС.ю все грани которой - равносторонние треугольники со сторонами по 4 см. Чему равна сумма длин всех ребер пирамиды?
Решение
:
Сумма длин ребер равна
6*4 = 24 (см)
Ответ : 24 см.
267. На рисунке изображена пирамида МАВСD, боковые грани которой - равнобедренные треугольники с боковыми сторонами по 7 см, а основание - квадрат со стороной 8 см. Чему равна сумма длин всех ребер пирамиды?
Решение
:
Сумма длин боковых ребер равна
4*7 = 28 (см)
Сумма длин ребер основания равна
4*8 = 32 (см)
Сумма длин всех ребер
28+32 = 60 (см)
Ответ : сумма длин всех ребер пирамиды равна 60 см.
268. Может ли иметь (да, нет) форму прямоугольного параллелепипеда:
1) яблоко; 2) коробка; 3) торт; 4) дерево; 5) кусок сыра; 6) кусок мыла?
Ответ : 1) нет; 2) да; 3) да; 4) нет; 5) да; 6) да.
269. На рисунке показана последовательность шагов изображения прямоугольного параллелепипеда. Начертите так же параллелепипед.
270. На рисунке показана последовательность шагов изображения пирамиды. Начертите так же пирамиду.
271. Чему равно ребро куба, если площадь его поверхности равна 96 см 2 .
Решение
:
1) 96:6 = 16 (см 2) - площадь одной грани куба.
2) 4*4 = 16, значит ребро куба равна 4 см.
Ответ : 4 см.
272. Запишите формулу для вычисления площади S поверхности:
1) куба, ребро которого равно а;
2) прямоугольного параллелепипеда, измерения которого равны а, b, c.
Ответ : 1) S = 6а 2 ; 2) S = 2(аb+ас+bс)
273. Для покраски куба, изображенного на рисунке слева, требуется 270 г краски. Часть куба вырезали. Сколько потребуется граммов краски, чтобы покрасить часть поверхности полученного тела, выделенную голубым цветом.
Решение
:
1) 270:6:9 = 45:9 = 5 (г) - на покраску единичной грани
2) 5*12 = 60 (г) - на покраску голубой поверхности
Ответ : потребуется 60 г раски
274. Какая из фигур А, Б, В, Г, Д дополняет фигуру Е до параллелепипеда?
275. Прямоугольный параллелепипед и куб имеют равные площади поверхности. Высота параллелепипеда равна 4 см, что в 3 раза меньше его длины и на 5 см меньше его ширины. Найдите ребро куба.
Решение
:
1) 4*3 = 12 (см) длина переллелепипеда
2) 4+5 = 9 (см) ширина параллелепипеда
3) 2*(4*12+4*9+12*9) = 384 (см 2) площадь поверхности параллелепипеда
4) 384:6 = 64 (см 2) площадь грани куба
5) 64 = 8*8 = 8 2 , значит ребро куба 8 см.
Ответ : ребро куба 8 см.
276. Обведите на изображении куба цветным карандашом видимые ребра так, чтобы куб был виден: 1) сверху и справа; 2) снизу и слева.
277. Грани куба пронумерованы числами от 1 до 6. На рисунке изображены два варианта развертки отдного и того же куба, полученные при равном разрезании. Какое число должно стоять вместо знака вопроса?
Призма называется параллелепипедом , если её основания - параллелограммы. См.Рис.1 .
Свойства параллелепипеда:
Противоположные грани параллелепипеда параллельны (т.е. лежат в параллельных плоскостях) и равны.
Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Смежные грани параллелепипеда – две грани, имеющие общее ребро.
Противоположные грани параллелепипеда – грани, не имеющих общих рёбер.
Противоположные вершины параллелепипеда – две вершины, не принадлежащие одной грани.
Диагональ параллелепипеда – отрезок, который соединяет противоположные вершины.
Если боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований, то параллелепипед называется прямым .
Прямой параллелепипед, основания которого – прямоугольники, называется прямоугольным . Призма, все грани которой - квадраты, называется кубом .
Параллелепипед – призма, у которой основаниями служат параллелограммы.
Прямой параллелепипед – параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны плоскости основания.
Прямоугольный параллелепипед – это прямой параллелепипед, основаниями которого являются прямоугольники.
Куб – прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.
Параллелепипедом называется призма, основание которой – параллелограмм; таким образом, параллелепипед имеет шесть граней и все они - параллелограммы.
Противоположные грани попарно равны и параллельны. Параллелепипед имеет четыре диагонали; все они пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам. За основание может быть принята любая грань; объем равен произведению площади основания на высоту: V = Sh.
Параллелепипед, четыре боковые грани которого - прямоугольники, называется прямым.
Прямой параллелепипед, у которого все шесть граней - прямоугольники, называется прямоугольным. См.Рис.2 .
Объем (V) прямого параллелепипеда равен произведению площади основания (S) на высоту (h): V = Sh .
Для прямоугольного параллелепипеда, кроме того, имеет место формула V=abc , где a,b,c - ребра.
Диагональ (d) прямоугольного параллелепипеда связана с его ребрами соотношением d 2 = а 2 + b 2 + c 2 .
Прямоугольный параллелепипед – параллелепипед, у которого боковые рёбра перпендикулярны основаниям, а основания прямоугольниками.
Свойства прямоугольного параллелепипеда:
В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней – прямоугольники.
Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений (длин трёх рёбер, имеющих общую вершину).
Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
Прямоугольный параллелепипед, все грани которого - квадраты, называется кубом. Все ребра куба равны; объем (V) куба выражается формулой V=a 3 , где a - ребро куба.
